שטח העיגול

עיגול וריבועי רדיוס

נשווה את השטח של עיגול לשטח של ריבוע שהצלע שלו היא הרדיוס, $\displaystyle r$ – נקרא לו ריבוע רדיוס (הריבוע הצבוע בציור).

העיגול נמצא בתוך ריבוע גדול שבנוי מ-4 ריבועי רדיוס, ולכן השטח שלו קטן מ-4 ריבועי רדיוס.
ארבע הפינות שמחוץ לעיגול קטנות יחד מריבוע רדיוס אחד, ולכן העיגול גדול מ-3 ריבועי רדיוס.
נועה שרטטה על דף משבצות עיגול שהרדיוס שלו 10 משבצות, וספרה את המשבצות שבתוכו: יצאו בערך 314. בריבוע רדיוס יש $\displaystyle {10\times10}={100}$ משבצות, ולכן העיגול הוא בערך 3.14 ריבועי רדיוס.

שטח העיגול הוא $\displaystyle \pi$ ריבועי רדיוס – אותו $\displaystyle \pi$ של ההיקף.

מעיגול למלבן

אפשר לראות למה זה כך: נחתוך עיגול ל-16 גזרות שוות, כמו משולשים של פיצה, ונסדר אותן בשורה – אחת עם החוד למעלה, ואחת עם החוד למטה:

הצורה שהתקבלה היא כמעט מלבן:

הגובה שלה הוא רדיוס, $\displaystyle r$ .
האורך שלה הוא חצי מההיקף: חצי מהקשתות למטה, וחצי למעלה. חצי מ- $\displaystyle 2\pi r$ הוא $\displaystyle \pi r$ .
ככל שהגזרות דקות יותר, הצורה קרובה יותר למלבן.

שטח של מלבן הוא אורך כפול רוחב, ולכן שטח העיגול הוא $\displaystyle \pi r\times r$ .

נוסחת השטח

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \pi r^2

$\displaystyle r^2$ (קוראים: “ $\displaystyle r$ בריבוע”) הוא $\displaystyle r\times r$ – הרדיוס כפול עצמו, ולא $\displaystyle 2\times r$ .
בחישוב: $\displaystyle 3.14\times r\times r$ .
אם נתון הקוטר, מחלקים אותו קודם ב-2.
שטח מודדים ביחידות ריבועיות: סמ"ר, מ"ר.

חישוב השטח

הקוטר של פיצה הוא 30 ס"מ.
מה השטח שלה?

תרגיל 1

חשבו את שטח העיגול, בסמ"ר ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ ).

הרדיוס 10 ס"מ

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

הרדיוס 3 ס"מ

הקוטר 8 ס"מ

הכפלת הרדיוס

כשהרדיוס גדל פי 2, השטח גדל פי 4:

רדיוס 1 ס"מ: $\displaystyle {3.14\times1\times1}={3.14}$ סמ"ר.
רדיוס 2 ס"מ: $\displaystyle {3.14\times2\times2}={12.56}$ סמ"ר – פי 4.
בחישוב הרדיוס מופיע פעמיים, ו- $\displaystyle {2\times2}={4}$ . גם ריבוע הרדיוס גדל פי 4.
ההיקף, לעומת זאת, גדל רק פי 2: בחישוב שלו הרדיוס מופיע פעם אחת.

תרגיל 2

בפיצרייה אפשר לקנות פיצה אחת שהקוטר שלה 40 ס"מ, או שתי פיצות שהקוטר של כל אחת מהן 20 ס"מ.
במה יש יותר פיצה?
הסבירו.

חצי עיגול וטבעת

את השטח של חלק מעיגול מחשבים משטח העיגול השלם:

חצי עיגול – חצי משטח העיגול.
טבעת – הצורה שבין שני מעגלים עם אותו מרכז. השטח שלה הוא שטח העיגול הגדול פחות שטח העיגול הקטן.

לדוגמה, טבעת שהרדיוס החיצוני שלה ( $\displaystyle R$ ) 5 ס"מ, והרדיוס הפנימי ( $\displaystyle r$ ) 3 ס"מ:

תרגיל 3

חלון בצורת חצי עיגול.
הקוטר שלו 80 ס"מ.
מה שטח הזכוכית בחלון, בסמ"ר? ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ )

תרגיל 4

הרדיוס של דיסק הוא 6 ס"מ.
באמצע הדיסק יש חור עגול שהרדיוס שלו 1 ס"מ.
מה השטח של הדיסק, בסמ"ר? ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ )

תרגיל 5

שער בנוי מריבוע שאורך הצלע שלו 2 מ’, ומעליו חצי עיגול.
מה השטח של השער, במ"ר? ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ )

תרגיל 6

מריבוע של קרטון שאורך הצלע שלו 10 ס"מ גזרו את העיגול הגדול ביותר שנכנס בו.
כמה סמ"ר קרטון נשארו? ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ )

נוסחאות: מידות וגופים, כיתה ו'

הקוטר $\displaystyle d$ הוא שני רדיוסים $\displaystyle r$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\times r$
המספר פאי – הערך שבו מחשבים
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$

נפח תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times b\times c$
נפח תיבה, מנסרה או גליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\times h$
נפח גליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2 h$
נפח פירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\times h}{3}$
נפח חרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}$
נפח כדור – שני שלישים מנפח הגליל שעוטף אותו
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{3}\times\pi r^2\times2r$