דלג לתוכן

היקף המעגל והמספר π

מידות וגופים, כיתה ו' שיעור 9 מתוך 16לימוד

היקף המעגל והמספר π

מדידת ההיקף

היקף המעגל הוא האורך של הקו שלו – הדרך שעושה נמלה שמקיפה את המעגל פעם אחת.

  • מודדים אותו בחוט: כורכים חוט סביב חפץ עגול, מסמנים עליו את המקום שבו הוא נפגש, ומודדים את החוט הישר בסרגל.
  • כדי למדוד מדויק יותר, כורכים את החוט 10 פעמים ומחלקים את האורך ב-10.

תלמידים מדדו כך את הקוטר ואת ההיקף של ארבעה חפצים עגולים:

חפץקוטר (ס"מ)היקף (ס"מ)
כוס825
צלחת2475.6
גלגל של אופניים50157
חישוק80252
תרגיל 1

פי כמה גדול ההיקף מהקוטר?
לכל חפץ בטבלה, חלקו את ההיקף בקוטר.

א
כוס

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    צלחת

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      גלגל של אופניים

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד
        חישוק

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          המספר π

          בכל מעגל, גדול או קטן, ההיקף גדול מהקוטר פי אותו מספר – קצת יותר מ-3.

          • קוראים למספר הזה פאי, ומסמנים אותו באות היוונית π\displaystyle \pi.
          • π=3.14159…\displaystyle {\pi}={3.14159\ldots} – הספרות אחרי הנקודה לא נגמרות לעולם, ואין בהן חזרה.
          • בחישובים נשתמש במספר קרוב: π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14. הסימן ≈\displaystyle \approx פירושו “שווה בערך”.
          • במדידות יצאו מספרים קצת שונים, כי מדידה בחוט ובסרגל אינה מדויקת לגמרי.
          • כבר בתנ"ך (מלכים א’, פרק ז’) מתואר כלי נחושת עגול, “הים”, שהקוטר שלו 10 אמות וההיקף שלו 30 אמות: פי 3 – קירוב של π\displaystyle \pi.
          נוסחת ההיקף
          • P\displaystyle P – ההיקף
          • d\displaystyle d – הקוטר
          • r\displaystyle r – הרדיוס

          ההיקף הוא π\displaystyle \pi כפול הקוטר:

          P\displaystyle P =\displaystyle = πd\displaystyle \pi d

          בנוסחה כותבים מספרים ואותיות זה ליד זה, בלי סימן כפל: πd\displaystyle \pi d פירושו π×d\displaystyle \pi\times d.

          הקוטר הוא פעמיים הרדיוס, ולכן אפשר לחשב את ההיקף גם מהרדיוס:

          P\displaystyle P =\displaystyle = 2πr\displaystyle 2\pi r

          2πr\displaystyle 2\pi r הוא בערך 6.28×r\displaystyle 6.28\times r.

          חישוב ההיקף

          הרדיוס של גלגל האופניים של נועה הוא 30 ס"מ.
          כמה ס"מ עובר הגלגל בסיבוב אחד? ובעשרה סיבובים?

          • בסיבוב אחד הגלגל עובר את ההיקף שלו: 2×3.14×30=188.4\displaystyle {2\times3.14\times30}={188.4} ס"מ.
          • בעשרה סיבובים: 10×188.4=1884\displaystyle {10\times188.4}={1884} ס"מ – כמעט 19 מטרים.
          תרגיל 2

          חשבו את היקף המעגל, בס"מ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

          א
          הקוטר 10 ס"מ

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב
            הרדיוס 7 ס"מ

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג
              מטבע של 10 ₪: הקוטר 2.3 ס"מ

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                סביב ערוגה עגולה שהרדיוס שלה 2 מ’ בונים גדר.
                מה אורך הגדר, במטרים? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  חלון בנוי בצורת חצי עיגול.
                  הקוטר שלו – הצלע הישרה התחתונה – הוא 80 ס"מ.
                  מה אורך המסגרת של החלון, כולל הצלע הישרה? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                  80

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    מההיקף לקוטר

                    כשההיקף ידוע, מוצאים את הקוטר בחילוק: ההיקף הוא 3.14 כפול הקוטר, ולכן הקוטר הוא ההיקף לחלק ב-3.14.
                    לדוגמה, ההיקף של שולחן עגול הוא 314 ס"מ:

                    • הקוטר: 314:3.14=100\displaystyle {314:3.14}={100} ס"מ.
                    • הרדיוס הוא חצי מהקוטר: 50 ס"מ.
                    תרגיל 5

                    ההיקף של עוגה עגולה הוא 62.8 ס"מ.
                    מה הקוטר שלה? ומה הרדיוס? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                    הקוטר

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      הרדיוס

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        תרגיל 6

                        המטר נקבע כך שאורך קו המשווה – המעגל הגדול ביותר סביב כדור הארץ – יהיה 40,000 ק"מ.
                        מה הרדיוס של כדור הארץ, בערך?
                        עגלו את התשובה למאות הקילומטרים.