הגופים המשוכללים

מצולע משוכלל הוא מצולע שכל הצלעות שלו שוות וכל הזוויות שלו שוות.

• משולש שווה צלעות הוא משולש משוכלל. כל זווית שלו $\displaystyle 60^\circ$.
• ריבוע הוא מרובע משוכלל. כל זווית שלו $\displaystyle 90^\circ$.
• במחומש משוכלל כל זווית היא $\displaystyle 108^\circ$, ובמשושה משוכלל – $\displaystyle 120^\circ$.
• מלבן שאינו ריבוע אינו משוכלל: הזוויות שלו שוות, אבל הצלעות לא.

גוף משוכלל הוא גוף שכל הפאות שלו שטוחות, ושיש לו שלוש תכונות:

• כל הפאות שלו הן מצולעים משוכללים, וכולן חופפות (שוות בדיוק).
• בכל קודקוד נפגש אותו מספר של פאות.
• הוא קמור: אין בו שקעים. קטע בין כל שתי נקודות של הגוף נשאר כולו בתוך הגוף.

הקובייה היא גוף משוכלל: כל שש הפאות שלה ריבועים חופפים, ובכל קודקוד נפגשות שלוש פאות.

יש בדיוק חמישה גופים משוכללים:

• השמות באים ממספר הפאות: ארבע, שמונה, תריסר (12) ועשרים.
• הארבעון הוא פירמידה משולשת שכל הפאות שלה משולשים שווי צלעות.
• בשלושה מהגופים הפאות הן משולשים שווי צלעות, באחד ריבועים, ובאחד מחומשים.

בכל קודקוד של גוף, הזוויות של הפאות שנפגשות בו קטנות יחד מ־$\displaystyle 360^\circ$ – ולכן יש רק חמישה גופים משוכללים.

בכל קודקוד של גוף נפגשות לפחות שלוש פאות. נניח את הפאות שנפגשות בקודקוד אחד שטוחות על השולחן, זו ליד זו, סביב נקודה אחת:

• אם הזוויות שלהן יחד קטנות מ־$\displaystyle 360^\circ$, נשאר רווח. מקפלים את הפאות עד שהרווח נסגר, והן יוצרות פינה של גוף.
• אם הזוויות יחד הן בדיוק $\displaystyle 360^\circ$, הפאות ממלאות את כל הסיבוב ושוכבות שטוחות. אי אפשר לקפל אותן לפינה.
• אם הזוויות יחד גדולות מ־$\displaystyle 360^\circ$, הפאות לא נכנסות סביב הנקודה בכלל.

כך נראים 3, 4, 5 ו־6 משולשים שווי צלעות סביב נקודה:

• משולשים ($\displaystyle 60^\circ$): שלושה – $\displaystyle 180^\circ$, ארבעה – $\displaystyle 240^\circ$, חמישה – $\displaystyle 300^\circ$. כל אלה נותנים פינה: הארבעון, התמניון והעשרימון. שישה משולשים הם $\displaystyle 360^\circ$ – שטוח.
• ריבועים ($\displaystyle 90^\circ$): שלושה – $\displaystyle 270^\circ$, זו הקובייה. ארבעה ריבועים הם $\displaystyle 360^\circ$ – שטוח.
• מחומשים ($\displaystyle 108^\circ$): שלושה – $\displaystyle 324^\circ$, זה התריסרון. ארבעה מחומשים הם $\displaystyle 432^\circ$ – יותר מדי.
• משושים ($\displaystyle 120^\circ$): שלושה משושים הם כבר $\displaystyle 360^\circ$ – שטוח. למצולעים עם עוד צלעות הזוויות עוד יותר גדולות.

לכן יש רק חמש אפשרויות, וחמישה גופים משוכללים.

בגוף משוכלל כל הפאות שוות, ולכן אפשר לספור את המקצועות ואת הקודקודים בלי לראות את הגוף. למשל, בקובייה:

• מקצועות: לשש הפאות יש יחד $\displaystyle {6\times4}={24}$ צלעות. כל מקצוע בנוי משתי צלעות של פאות, ולכן יש $\displaystyle {24:2}={12}$ מקצועות.
• קודקודים: לשש הפאות יש יחד $\displaystyle {6\times4}={24}$ פינות. בכל קודקוד נפגשות שלוש פינות, ולכן יש $\displaystyle {24:3}={8}$ קודקודים.

כמה מקצועות יש לכל גוף?
היעזרו בטבלה של חמשת הגופים המשוכללים.

כמה קודקודים יש לכל גוף?

בכל אחד מחמשת הגופים המשוכללים חשבו: מספר הפאות + מספר הקודקודים − מספר המקצועות.
חשבו את אותו הדבר גם במנסרה משולשת ובפירמידה מרובעת.
מה גיליתם?

אלה פריסות של הארבעון (1), של התמניון (2) ושל העשרימון (3). כל הפאות בהן משולשים שווי צלעות:

וזו פריסה של התריסרון: שני “פרחים”, בכל אחד מחומש ועוד חמישה מחומשים סביבו. מעתיקים פריסה לנייר עבה, גוזרים, מקפלים ומדביקים – ומקבלים את הגוף.

מדביקים שני ארבעונים שווים זה לזה, פאה אל פאה.
לגוף החדש שש פאות, וכולן משולשים שווי צלעות.
האם הגוף החדש משוכלל? הסבירו.