נפח המנסרה, הפירמידה והכדור

נפח המנסרה

נפח המנסרה, כמו נפח התיבה והגליל, הוא שטח הבסיס כפול הגובה:

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle S\times h

חישוב נפח המנסרה

הבסיס של מנסרה הוא משולש: אחת הצלעות שלו 6 ס"מ, והגובה אל הצלע הזו 4 ס"מ.
הגובה של המנסרה 10 ס"מ.
מה הנפח של המנסרה?

תרגיל 1

חשבו את נפח המנסרה, בסמ"ק.

שטח הבסיס 15 סמ"ר, הגובה 8 ס"מ

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

הבסיס משולש: צלע 10 ס"מ והגובה אליה 6 ס"מ; גובה המנסרה 20 ס"מ

הבסיס משושה בשטח 26 סמ"ר, הגובה 5 ס"מ

נפח הפירמידה

פירמידה ומנסרה עם אותו בסיס ואותו גובה הן כמו החרוט והגליל: שלוש פירמידות של חול ממלאות את המנסרה. לכן נפח הפירמידה הוא שליש מנפח המנסרה:

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle \frac{S\times h}{3}

הגובה של הפירמידה הוא המרחק מהקודקוד העליון אל הבסיס (הקו המקווקו בציור).
לדוגמה, פירמידה שהבסיס שלה ריבוע של 6 ס"מ על 6 ס"מ, והגובה שלה 5 ס"מ: $\displaystyle {6\times6\times5:3}={60}$ סמ"ק.

תרגיל 2

חשבו את נפח הפירמידה.

בסיס ריבוע של 3 ס"מ על 3 ס"מ, גובה 4 ס"מ; בסמ"ק

בסיס מלבן של 10 ס"מ על 6 ס"מ, גובה 9 ס"מ; בסמ"ק

הפירמידה הגדולה בגיזה: בסיס ריבוע של 230 מ’ על 230 מ’, גובה 147 מ’ (בערך); במ"ק

נפח הכדור

כדור הוא גוף עגול לגמרי, כמו כדורסל: כל הנקודות על הפנים שלו נמצאות באותו מרחק מהמרכז – הרדיוס.

ניקח גליל שעוטף כדור בדיוק: הרדיוס שלו הוא הרדיוס של הכדור, והגובה שלו הוא הקוטר, $\displaystyle 2r$ .
נמלא את הגליל במים, ונדחוף פנימה את הכדור: שני שלישים מהמים נשפכים, ושליש נשאר.

לכן נפח הכדור הוא $\displaystyle \frac{2}{3}$ מנפח הגליל שעוטף אותו:

\displaystyle V

\displaystyle =

\displaystyle \frac{2}{3}\times\pi r^2\times2r

לדוגמה, כדור שהרדיוס שלו 3 ס"מ:

תרגיל 3

חשבו את נפח הכדור, בסמ"ק ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ ).

הרדיוס 6 ס"מ

כדורסל: הרדיוס 12 ס"מ

תרגיל 4

תכננו שני גופים שונים – מנסרה, פירמידה, גליל או חרוט – שהנפח של כל אחד מהם 60 סמ"ק.
כתבו את המידות שלהם, והראו בחישוב שהנפח יוצא 60 סמ"ק.

תרגיל 5

לפירמידה ולמנסרה יש אותו בסיס – ריבוע של 4 ס"מ על 4 ס"מ.
הנפח של כל אחת מהן 48 סמ"ק.
מה הגובה של המנסרה? ומה הגובה של הפירמידה?

גובה המנסרה

גובה הפירמידה

נוסחאות: מידות וגופים, כיתה ו'

הקוטר $\displaystyle d$ הוא שני רדיוסים $\displaystyle r$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\times r$
המספר פאי – הערך שבו מחשבים
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$

נפח תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times b\times c$
נפח תיבה, מנסרה או גליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\times h$
נפח גליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2 h$
נפח פירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\times h}{3}$
נפח חרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}$
נפח כדור – שני שלישים מנפח הגליל שעוטף אותו
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{3}\times\pi r^2\times2r$