שוויון בין ביטויים – זהות

יש ביטויים שנראים שונים, אבל נותנים תמיד אותו ערך. למשל $\displaystyle x+x+x$ ו- $\displaystyle 3x$ : לא משנה איזה מספר נציב במקום $\displaystyle x$ – בשניהם נקבל אותה תוצאה.

טבלת הצבות

כדי להשוות ביטויים, מציבים בהם כמה מספרים ורושמים את הערכים בטבלה:

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle x+x+x$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 15$
$\displaystyle 3x$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 15$
$\displaystyle x+3$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 8$

בכל ההצבות $\displaystyle x+x+x$ ו- $\displaystyle 3x$ שווים. $\displaystyle x+3$ שונה מהם כבר בהצבה הראשונה.

זהות

זהות היא שוויון שנכון לכל הצבה.

שני ביטויים ששווים זה לזה בכל הצבה נקראים ביטויים שקולים, והשוויון ביניהם נקרא זהות: $\displaystyle {x+x+x}={3x}$ היא זהות. עוד זהויות: $\displaystyle {a+b}={b+a}$ , $\displaystyle {2\cdot a\cdot3}={6a}$ , $\displaystyle {x\cdot x}={x^2}$ . את הזהויות מוכיחים בעזרת חוקי החשבון.

דוגמה נגדית

כמה הצבות שבהן הערכים שווים עדיין אינן הוכחה – אולי יש הצבה אחרת שבה הם שונים.

כדי להראות ששני ביטויים אינם שקולים, מספיקה הצבה אחת שבה הערכים שלהם שונים. הצבה כזאת נקראת דוגמה נגדית. למשל $\displaystyle 2x$ ו- $\displaystyle x^2$ : כש- $\displaystyle {x}={2}$ ערכם של שניהם 4, אבל כש- $\displaystyle {x}={3}$ ערכו של $\displaystyle 2x$ הוא 6 וערכו של $\displaystyle x^2$ הוא 9. לכן $\displaystyle {2x}={x^2}$ אינה זהות.

תרגיל 1

בנו טבלת הצבות לביטויים $\displaystyle 2(x+1)$ ו- $\displaystyle 2x+2$ , עם $\displaystyle {x}={-3}$ , $\displaystyle {x}={0}$ , $\displaystyle {x}={2}$ ו- $\displaystyle {x}={10}$ .
האם נראה שהביטויים שקולים?

תרגיל 2

לכל זוג ביטויים מצאו דוגמה נגדית שמראה שהם אינם שקולים: א. $\displaystyle x+5$ ו- $\displaystyle 5x$ ; ב. $\displaystyle x\cdot x\cdot x$ ו- $\displaystyle 3x$ ; ג. $\displaystyle 10-x$ ו- $\displaystyle x-10$ .

תרגיל 3

אילו מהשוויונות הם זהויות?
לכל שוויון שאינו זהות תנו דוגמה נגדית.
א. $\displaystyle {a\cdot b}={b\cdot a}$ ; ב. $\displaystyle {a-b}={b-a}$ ; ג. $\displaystyle {x+x}={x^2}$ ; ד. $\displaystyle {4\cdot x\cdot2}={8x}$ ; ה. $\displaystyle {y:1}={y}$ .

תרגיל 4

כתבו ביטוי שקול, קצר יותר.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נוסחאות: אלגברה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

חיבור וחיסור של מספרים מכוונים

הסכום של שני מספרים נגדיים
$\displaystyle (-a)+a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
לחסר מספר זה לחבר את הנגדי שלו
$\displaystyle a-b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(-b)$
חיסור של מספר שלילי
$\displaystyle a-(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+b$

כפל וחילוק של מספרים מכוונים

חיובי כפול שלילי – שלילי
$\displaystyle a\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a\cdot b)$
שלילי כפול שלילי – חיובי
$\displaystyle (-a)\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
בחילוק: סימנים שונים – המנה שלילית
$\displaystyle (-a):b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a:b)$ $\displaystyle b\neq0$
בחילוק: אותו סימן – המנה חיובית
$\displaystyle (-a):(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$ $\displaystyle b\neq0$

חזקות ושורשים

חזקה – $\displaystyle a$ הבסיס, $\displaystyle n$ המעריך: מספר הפעמים ש- $\displaystyle a$ מופיע בכפל
$\displaystyle a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$
מספר בחזקת 1 הוא המספר עצמו
$\displaystyle a^{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$
בסיס שלילי במעריך זוגי – החזקה חיובית
$\displaystyle (-a)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
השורש הריבועי – המספר החיובי (או 0) שהריבוע שלו הוא המספר שבתוך השורש
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוקי החשבון וכינוס איברים דומים

חוק החילוף בחיבור
$\displaystyle a+b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b+a$
חוק החילוף בכפל
$\displaystyle a\cdot b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot a$
חוק הקיבוץ בחיבור
$\displaystyle (a+b)+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(b+c)$
חוק הקיבוץ בכפל
$\displaystyle (a\cdot b)\cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot(b\cdot c)$
מספר כפול עצמו – בריבוע
$\displaystyle x\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{2}$
כינוס איברים דומים – מחברים את המקדמים, וחלק האותיות נשאר
$\displaystyle ax+bx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)x$

חוק הפילוג

חוק הפילוג
$\displaystyle a(b+c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab+ac$
חוק הפילוג בהפרש
$\displaystyle a(b-c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab-ac$
מינוס לפני סוגריים – הסימן של כל איבר בתוכם מתהפך
$\displaystyle -(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a+b$

דרך, מהירות וזמן

$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$