משוואות מיוחדות

עד עכשיו לכל משוואה היה פתרון אחד בדיוק. אבל יש משוואות שבזמן הפתרון ה- $\displaystyle x$ מתבטל בשני האגפים – ונשארת טענה בלי $\displaystyle x$ . לפי הטענה הזאת יודעים מה הפתרונות.

משוואה בלי פתרון

\begin{aligned}2(x+3)&=2x+1\\ 2x+6&=2x+1 &&/-2x\\ 6&=1\end{aligned}

הטענה $\displaystyle {6}={1}$ שקרית. לא משנה איזה מספר נציב – האגף הראשון גדול מהשני ב-5 – ולכן למשוואה אין פתרון.

משוואה שכל מספר הוא פתרון שלה

\displaystyle x

מתבטל: טענה שקרית – אין פתרון; טענה נכונה – כל מספר הוא פתרון.

\begin{aligned}3(x-1)+3&=3x\\ 3x-3+3&=3x\\ 3x&=3x &&/-3x\\ 0&=0\end{aligned}

הטענה $\displaystyle {0}={0}$ נכונה תמיד, ולכן כל מספר הוא פתרון של המשוואה. אין בזה פלא: שני האגפים הם ביטויים שווים, ו- $\displaystyle {3(x-1)+3}={3x}$ היא זהות – כמו שראינו בשיעור על שוויון בין ביטויים.

בדיקה בהצבה

גם הצבה של מספרים מראה את זה. במשוואה $\displaystyle {2(x+3)}={2x+1}$ , בהצבת $\displaystyle {x}={0}$ מקבלים 6 באגף אחד ו-1 באגף השני, ובהצבת $\displaystyle {x}={10}$ מקבלים 26 ו-21 – תמיד הפרש של 5. ובמשוואה $\displaystyle {3(x-1)+3}={3x}$ כל הצבה נותנת שני אגפים שווים.

תרגיל 1

פשטו את האגף שיש בו סוגריים, ואז פתרו.
למשוואה יש פתרון אחד, אין לה פתרון, או שכל מספר הוא פתרון שלה.

תרגיל 2

השלימו מספר במקום הריבוע כך שלמשוואה $\displaystyle {4(x-2)}={4x+\square}$ לא יהיה פתרון.
ועכשיו מספר אחר, כך שכל מספר יהיה פתרון שלה.
אפשר להשלים כך שיהיה לה פתרון אחד בדיוק? הסבירו.

כל

\displaystyle x

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

כתבו משוואה משלכם שאין לה פתרון, ומשוואה שכל מספר הוא פתרון שלה.
החליפו עם חבר או חברה ובדקו זה את המשוואות של זה.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

חיבור וחיסור של מספרים מכוונים

הסכום של שני מספרים נגדיים
$\displaystyle (-a)+a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
לחסר מספר זה לחבר את הנגדי שלו
$\displaystyle a-b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(-b)$
חיסור של מספר שלילי
$\displaystyle a-(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+b$

כפל וחילוק של מספרים מכוונים

חיובי כפול שלילי – שלילי
$\displaystyle a\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a\cdot b)$
שלילי כפול שלילי – חיובי
$\displaystyle (-a)\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
בחילוק: סימנים שונים – המנה שלילית
$\displaystyle (-a):b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a:b)$ $\displaystyle b\neq0$
בחילוק: אותו סימן – המנה חיובית
$\displaystyle (-a):(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$ $\displaystyle b\neq0$

חזקות ושורשים

חזקה – $\displaystyle a$ הבסיס, $\displaystyle n$ המעריך: מספר הפעמים ש- $\displaystyle a$ מופיע בכפל
$\displaystyle a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$
מספר בחזקת 1 הוא המספר עצמו
$\displaystyle a^{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$
בסיס שלילי במעריך זוגי – החזקה חיובית
$\displaystyle (-a)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
השורש הריבועי – המספר החיובי (או 0) שהריבוע שלו הוא המספר שבתוך השורש
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוקי החשבון וכינוס איברים דומים

חוק החילוף בחיבור
$\displaystyle a+b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b+a$
חוק החילוף בכפל
$\displaystyle a\cdot b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot a$
חוק הקיבוץ בחיבור
$\displaystyle (a+b)+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(b+c)$
חוק הקיבוץ בכפל
$\displaystyle (a\cdot b)\cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot(b\cdot c)$
מספר כפול עצמו – בריבוע
$\displaystyle x\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{2}$
כינוס איברים דומים – מחברים את המקדמים, וחלק האותיות נשאר
$\displaystyle ax+bx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)x$

חוק הפילוג

חוק הפילוג
$\displaystyle a(b+c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab+ac$
חוק הפילוג בהפרש
$\displaystyle a(b-c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab-ac$
מינוס לפני סוגריים – הסימן של כל איבר בתוכם מתהפך
$\displaystyle -(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a+b$

דרך, מהירות וזמן

$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$