פתרון מערכת בשיטת ההשוואה ובהשוואת מקדמים

כששתי המשוואות כתובות בצורה $\displaystyle {y}={\ldots}$, משווים בין שני הביטויים – זו שיטת ההשוואה.

• בנקודת החיתוך של הישרים יש לשניהם אותו $\displaystyle y$, ולכן $\displaystyle {3x-4}={x+2}$.
• נפתור: $\displaystyle {2x}={6}$, $\displaystyle {x}={3}$.
• נציב באחת המשוואות: $\displaystyle {y}={3+2}={5}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (3,5)$ – נקודת החיתוך שבגרף.

פתרו בשיטת ההשוואה.
בסעיף 1 המשוואה של ההשוואה כבר כתובה: פתרו אותה, חשבו את $\displaystyle y$ וכתבו את פתרון המערכת.
בסעיף 2 פתרו את המערכת כולה.

$\displaystyle {\begin{cases}y=2x+5\\ y=-x-1\end{cases}}$

אפשר לחבר שתי משוואות: אגף שמאל עם אגף שמאל, ואגף ימין עם אגף ימין. כשהמקדמים של אחד הנעלמים נגדיים, הוא נעלם בחיבור.

• ל-$\displaystyle y$ יש מקדמים נגדיים, 1 ו-$\displaystyle -1$. נחבר: $\displaystyle {(x+y)+(x-y)}={9+3}$, כלומר $\displaystyle {2x}={12}$, ולכן $\displaystyle {x}={6}$.
• נציב במשוואה הראשונה: $\displaystyle {6+y}={9}$, ולכן $\displaystyle {y}={3}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (6,3)$.

כשהמקדמים של אחד הנעלמים שווים, מחסרים את המשוואות – והנעלם הזה נעלם.

• ל-$\displaystyle y$ אותו מקדם, 2. נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה: $\displaystyle {(3x+2y)-(x+2y)}={16-8}$, כלומר $\displaystyle {2x}={8}$, ולכן $\displaystyle {x}={4}$.
• נציב במשוואה השנייה: $\displaystyle {4+2y}={8}$, $\displaystyle {2y}={4}$, ולכן $\displaystyle {y}={2}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (4,2)$.
• זהירות: מחסרים כל איבר של המשוואה השנייה, ולכן כדאי לכתוב אותה בסוגריים.

כשהמקדמים אינם שווים ואינם נגדיים, כופלים קודם משוואה במספר כך שיהיו – זו השוואת מקדמים. כפל של שני האגפים באותו מספר לא משנה את הפתרונות של המשוואה.

• ל-$\displaystyle y$ מקדמים 3 ו-$\displaystyle -1$. נכפול את המשוואה השנייה ב-3: $\displaystyle {12x-3y}={30}$. עכשיו המקדמים של $\displaystyle y$ נגדיים.
• נחבר אותה למשוואה הראשונה: $\displaystyle {14x}={42}$, ולכן $\displaystyle {x}={3}$.
• נציב במשוואה $\displaystyle {4x-y}={10}$: $\displaystyle {12-y}={10}$, ולכן $\displaystyle {y}={2}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (3,2)$. בדיקה: $\displaystyle {2\cdot3+3\cdot2}={12}$ וגם $\displaystyle {4\cdot3-2}={10}$.

פתרו בחיבור או בחיסור המשוואות.

פתרו בהשוואת מקדמים: כפלו קודם את אחת המשוואות במספר.

כל שיטה פותרת כל מערכת, אבל בכל מערכת אחת מהן קצרה יותר:

• שתי המשוואות בצורה $\displaystyle {y}={\ldots}$ – שיטת ההשוואה.
• נעלם מבודד, או נעלם עם מקדם 1 או $\displaystyle -1$ – שיטת ההצבה.
• מקדמים שווים או נגדיים – חיבור או חיסור המשוואות.
• אחרת – השוואת מקדמים.

פתרו בשיטה שנראית לכם הקצרה ביותר.