דלג לתוכן

הגרף של פונקציה

אלגברה, כיתה ח' שיעור 3 מתוך 27לימוד

הגרף של פונקציה

הגרף של פונקציה

הגרף של פונקציה הוא כל הנקודות (x,y)\displaystyle (x,y) במערכת הצירים שבהן y\displaystyle y הוא הערך שהפונקציה מתאימה ל-x\displaystyle x.
הפונקציה f\displaystyle f היא הכלל “כפלו ב-2 והחסירו 1”:

x\displaystyle x−1\displaystyle -10\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 2
y\displaystyle y−3\displaystyle -3−1\displaystyle -11\displaystyle 13\displaystyle 3

כל עמודה בטבלה היא נקודה על הגרף.

f(x)\displaystyle f(x)
(−1,−3)\displaystyle (-1,-3)
(0,−1)\displaystyle (0,-1)
(1,1)\displaystyle (1,1)
(2,3)\displaystyle (2,3)
(1.5,2)\displaystyle (1.5,2)

גם בין הנקודות שבטבלה יש נקודות של הגרף. למשל x=1.5\displaystyle {x}={1.5}: 1.5⋅2−1=2\displaystyle {1.5\cdot2-1}={2}, ולכן גם הנקודה (1.5,2)\displaystyle (1.5,2) נמצאת על הגרף. כשמחשבים עוד ועוד נקודות כאלה, הן מתחברות לקו.

קריאת ערכים מהגרף

מהגרף אפשר לקרוא את y\displaystyle y של כל x\displaystyle x, וגם למצוא את ה-x\displaystyle x-ים שיש להם y\displaystyle y מסוים.

  • y\displaystyle y של x=−1\displaystyle {x}={-1}: מ-−1\displaystyle -1 שעל ציר ה-x\displaystyle x עולים עד הגרף, ומשם הולכים ישר אל ציר ה-y\displaystyle y: y=1\displaystyle {y}={1}.
  • ה-x\displaystyle x-ים שבהם y=−1\displaystyle {y}={-1}: מ-−1\displaystyle -1 שעל ציר ה-y\displaystyle y הולכים לרוחב, ומוצאים את כל הנקודות של הגרף בגובה הזה.
f(x)\displaystyle f(x)
(−1,1)\displaystyle (-1,1)
(−2,−1)\displaystyle (-2,-1)
(1,−1)\displaystyle (1,-1)
(3,−1)\displaystyle (3,-1)

בגובה y=−1\displaystyle {y}={-1} יש לגרף שלוש נקודות: (−2,−1)\displaystyle (-2,-1), (1,−1)\displaystyle (1,-1) ו-(3,−1)\displaystyle (3,-1). לכל x\displaystyle x יש y\displaystyle y אחד, אבל לאותו y\displaystyle y יכולים להתאים כמה ערכים של x\displaystyle x.

גרף של סיפור: רכיבה על אופניים

נועה יצאה מהבית לטיול באופניים, וחזרה הביתה.
הגרף מראה את המרחק שלה מהבית בכל רגע של הטיול.
ציר ה-x\displaystyle x: הזמן בשעות מהיציאה. ציר ה-y\displaystyle y: המרחק מהבית בקילומטרים.

d(x)\displaystyle d(x)
  • בשעה הראשונה הגרף עולה: נועה מתרחקת מהבית, עד 12 ק"מ.
  • בין שעה לשעה וחצי הגרף שטוח: המרחק אינו משתנה – נועה עצרה לנוח.
  • שעתיים וחצי אחרי היציאה היא הכי רחוקה מהבית: 18 ק"מ.
  • אחר כך הגרף יורד: נועה חוזרת, ואחרי 4 שעות היא בבית.

הגרף מראה את המרחק מהבית, לא את צורת הדרך: הוא עולה כשנועה מתרחקת מהבית, גם אם הדרך מישורית.

מבחן הקו האנכי

כל קו אנכי פוגש גרף של פונקציה בנקודה אחת לכל היותר.

  • לכל הנקודות שעל קו אנכי יש אותו x\displaystyle x.
  • לכל x\displaystyle x פונקציה מתאימה y\displaystyle y אחד, ולכן לגרף יש נקודה אחת לכל היותר על כל קו אנכי.
?\displaystyle ?
x=3\displaystyle x=3
(3,4)\displaystyle (3,4)
(3,−4)\displaystyle (3,-4)

המעגל אינו גרף של פונקציה: הקו האנכי x=3\displaystyle {x}={3} פוגש אותו בשתי נקודות, (3,4)\displaystyle (3,4) ו-(3,−4)\displaystyle (3,-4). כלומר ל-x=3\displaystyle {x}={3} מתאימים שני ערכים של y\displaystyle y, 4 ו-−4\displaystyle -4.

תרגיל 1

סמנו את הנקודות שבהן הגרף של g\displaystyle g פוגש את ציר ה-x\displaystyle x ואת ציר ה-y\displaystyle y.
כתבו:

  • את y\displaystyle y כאשר x=−2\displaystyle {x}={-2}, וכאשר x=4\displaystyle {x}={4};
  • את כל ערכי ה-x\displaystyle x שבהם y=2\displaystyle {y}={2}.
g(x)\displaystyle g(x)

x=−2\displaystyle {x}={-2}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    x=4\displaystyle {x}={4}

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      y=2\displaystyle {y}={2}
      תרגיל 2

      ענו לפי הגרף של הטיול של נועה.

      • כמה רחוקה מהבית הייתה נועה שעתיים אחרי היציאה?
      • כמה זמן נחה נועה?
      • מתי הייתה נועה במרחק 6 ק"מ מהבית? יש שתי תשובות.
      • כמה קילומטרים רכבה נועה בכל הטיול?
      שעתיים אחרי היציאה (ק"מ)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        המנוחה (שעות)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          במרחק 6 ק"מ
          כל הטיול (ק"מ)

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            איזה מהציורים הוא גרף של פונקציה? הסבירו בעזרת קו אנכי.

            א
            ?\displaystyle ?
            ב
            ?\displaystyle ?
            ג
            ?\displaystyle ?
            ד
            ?\displaystyle ?