פונקציה עולה, יורדת וקבועה

עולה, יורדת, קבועה

גם בעברית קוראים גרף משמאל לימין: על ציר ה-

\displaystyle x

המספרים גדלים ימינה.

קוראים גרף משמאל לימין – בכיוון שבו $\displaystyle x$ גדל – ושואלים מה קורה ל- $\displaystyle y$ :

עולה – כש- $\displaystyle x$ גדל, גם $\displaystyle y$ גדל. הגרף עולה.
יורדת – כש- $\displaystyle x$ גדל, $\displaystyle y$ קטן. הגרף יורד.
קבועה – כש- $\displaystyle x$ גדל, $\displaystyle y$ אינו משתנה. הגרף אופקי.

דוגמה: הטמפרטורה במשך יום

הגרף מראה את הטמפרטורה בעיר במשך יממה אחת.
ציר ה- $\displaystyle x$ : השעה, מחצות עד חצות. ציר ה- $\displaystyle y$ : הטמפרטורה במעלות.

מחצות ועד השעה 5 הטמפרטורה יורדת, מ-12 מעלות ל-8 מעלות.
מהשעה 5 ועד השעה 14 היא עולה, עד 26 מעלות.
מהשעה 14 ועד חצות היא שוב יורדת.

\displaystyle T(x)

\displaystyle (5,8)

\displaystyle (14,26)

תחומי עלייה וירידה

תחום הוא קבוצה של ערכי

\displaystyle x

: “עולה כאשר

\displaystyle 5<x<14

”, ולא “כאשר

\displaystyle 8<y<26

”.

תחום עלייה הוא קטע של ציר ה- $\displaystyle x$ שבו הפונקציה עולה, ותחום ירידה – קטע שבו היא יורדת. כותבים אותם במילים או בסימנים $\displaystyle <$ ו- $\displaystyle >$ .

$\displaystyle 5<x<14$ פירושו: $\displaystyle x$ גדול מ-5 וקטן מ-14 – כל המספרים שבין 5 ל-14.
בטמפרטורה – תחום עלייה: $\displaystyle 5<x<14$ .
תחומי ירידה: $\displaystyle 0<x<5$ ו- $\displaystyle 14<x<24$ .

נקודות מקסימום ומינימום

נקודת מקסימום היא נקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה – פסגה בגרף. נקודת מינימום היא נקודה שבה הפונקציה עוברת מירידה לעלייה – עמק.

בטמפרטורה, $\displaystyle (14,26)$ היא נקודת מקסימום: בשעה 14 הכי חם, 26 מעלות.
$\displaystyle (5,8)$ היא נקודת מינימום: בשעה 5 הכי קר, 8 מעלות.
נקודה כותבים כזוג סדור. ה- $\displaystyle y$ שלה הוא הערך הגדול ביותר (במקסימום) או הקטן ביותר (במינימום).

תחום שבו הפונקציה קבועה

זה הגרף של הטיול של נועה באופניים: $\displaystyle x$ – הזמן בשעות, $\displaystyle y$ – המרחק מהבית בקילומטרים.

\displaystyle d(x)

תחומי עלייה – נועה מתרחקת מהבית: $\displaystyle 0<x<1$ ו- $\displaystyle 1.5<x<2.5$ .
תחום שבו הפונקציה קבועה – נועה נחה: $\displaystyle 1<x<1.5$ .
תחום ירידה – נועה חוזרת הביתה: $\displaystyle 2.5<x<4$ .
$\displaystyle (2.5,18)$ היא נקודת מקסימום: אחרי שעתיים וחצי נועה הכי רחוקה מהבית.

עלייה וירידה בטבלה

טבלה מראה רק את העמודות שלה. כאן מניחים שבין עמודה לעמודה הפונקציה ממשיכה באותו כיוון.

גם בטבלת ערכים רואים עלייה וירידה: עוברים על העמודות לפי הסדר, משמאל לימין, ובודקים אם $\displaystyle y$ גדל או קטן.

$\displaystyle x$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 5$

עד $\displaystyle {x}={0}$ הערכים של $\displaystyle y$ קטנים: הפונקציה יורדת.
אחרי $\displaystyle {x}={0}$ הם גדלים: הפונקציה עולה.
$\displaystyle (0,-4)$ היא נקודת מינימום.

תרגיל 1

סמנו את נקודות המקסימום והמינימום של $\displaystyle g$ .
כתבו:

לכל נקודה שסימנתם – מקסימום או מינימום;
את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של $\displaystyle g$ .

\displaystyle g(x)

תרגיל 2

מעלית יצאה מקומת הקרקע, קומה 0.
הגרף מראה באיזו קומה הייתה המעלית בכל רגע.
ציר ה- $\displaystyle x$ : הזמן בדקות. ציר ה- $\displaystyle y$ : הקומה.

כתבו את תחומי העלייה, את תחומי הירידה ואת התחומים שבהם הפונקציה קבועה.
מה עשתה המעלית בכל תחום שבו הפונקציה קבועה?
מה הקומה הגבוהה ביותר שאליה הגיעה המעלית, ומתי הייתה בה?

\displaystyle h(x)

הקומה הגבוהה ביותר

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 7$

באיזה תחום הפונקציה יורדת, ובאיזה היא עולה?
מצאו את נקודת המינימום שלה.

תרגיל 4

שרטטו סקיצה של גרף של פונקציה שיש לה כל התכונות האלה:

היא עולה כאשר $\displaystyle x<1$ ;
$\displaystyle (1,5)$ היא נקודת מקסימום;
היא יורדת כאשר $\displaystyle 1<x<4$ ;
היא קבועה כאשר $\displaystyle x>4$ .

נוסחאות: אלגברה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

הפונקציה הקווית

פונקציה קווית – $\displaystyle m$ השיפוע; הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,b)$
$\displaystyle y=mx+b$
השיפוע של הישר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
לישרים מקבילים אותו שיפוע
$\displaystyle m_1=m_2$
ישר שעובר בראשית הצירים – $\displaystyle {b}={0}$
$\displaystyle y=mx$
ישר אופקי – השיפוע 0
$\displaystyle y=b$

בעיות מילוליות

$\displaystyle p$ אחוזים מ- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$
$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

אי־שוויונות

מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים – הסימן נשאר
$\displaystyle a+c<b+c$ $\displaystyle a<b$
כופלים או מחלקים במספר חיובי – הסימן נשאר
$\displaystyle a\cdot c<b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c>0$
כופלים או מחלקים במספר שלילי – הסימן מתהפך
$\displaystyle a\cdot c>b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c<0$