אי־שוויונות

אי־שוויון דומה למשוואה, אבל במקום הסימן $\displaystyle {}={}$ יש בו אחד הסימנים $\displaystyle <$, $\displaystyle >$, $\displaystyle \leq$ או $\displaystyle \geq$. למשוואה ממעלה ראשונה יש בדרך כלל פתרון אחד, ולאי־שוויון – אינסוף פתרונות.

פתרון של אי־שוויון הוא מספר שמקיים אותו: מציבים אותו במקום $\displaystyle x$ ומקבלים טענה נכונה.
נבדוק כמה מספרים באי־השוויון $\displaystyle 2x+1>7$:

• $\displaystyle {x}={5}$: $\displaystyle {2\cdot5+1}={11}$, ו-$\displaystyle 11>7$ נכון – 5 הוא פתרון.
• $\displaystyle {x}={3}$: $\displaystyle {2\cdot3+1}={7}$, ו-$\displaystyle 7>7$ אינו נכון – 3 אינו פתרון.
• $\displaystyle {x}={0}$: $\displaystyle {2\cdot0+1}={1}$, ו-$\displaystyle 1>7$ אינו נכון – 0 אינו פתרון.

כל מספר גדול מ-3 הוא פתרון, וכל מספר אחר אינו פתרון. כל הפתרונות יחד הם קבוצת הפתרונות של אי־השוויון, ובקיצור כותבים אותה כך: $\displaystyle x>3$. הסימנים:

• $\displaystyle x>3$ – $\displaystyle x$ גדול מ-3;
• $\displaystyle x<3$ – $\displaystyle x$ קטן מ-3;
• $\displaystyle x\geq3$ – $\displaystyle x$ גדול מ-3 או שווה ל-3;
• $\displaystyle x\leq3$ – $\displaystyle x$ קטן מ-3 או שווה ל-3.

לפניכם המספרים $\displaystyle -2$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle 2.5$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 7$.
אילו מהם הם פתרונות של אי־השוויון $\displaystyle 3x-2\leq10$?
הציבו כל אחד מהם ובדקו.

את קבוצת הפתרונות מסמנים על ציר המספרים – כאן, על ציר ה-$\displaystyle x$. כל פס צבוע הוא כל המספרים שמקיימים אי־שוויון אחד:

• $\displaystyle x>3$ – כל המספרים מימין ל-3. הקו בקצה הפס מקווקו: 3 עצמו אינו פתרון.
• $\displaystyle x\leq-1$ – כל המספרים משמאל ל-$\displaystyle -1$, וגם $\displaystyle -1$ עצמו. הקו בקצה הפס רציף: $\displaystyle -1$ הוא פתרון.

כשמשרטטים ביד, מסמנים את קצה הקטע בעיגול: עיגול ריק – המספר אינו פתרון ($\displaystyle <$, $\displaystyle >$); עיגול מלא – המספר הוא פתרון ($\displaystyle \leq$, $\displaystyle \geq$).

פותרים אי־שוויון כמו משוואה: עושים אותה פעולה בשני האגפים, עד ש-$\displaystyle x$ נשאר לבד. הפעולות האלה שומרות על הסימן:

• מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים: מ-$\displaystyle 5>2$, אחרי $\displaystyle +3$, מקבלים $\displaystyle 8>5$;
• כופלים או מחלקים את שני האגפים באותו מספר חיובי: מ-$\displaystyle 5>2$, אחרי כפל ב-2, מקבלים $\displaystyle 10>4$.

כשכופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, הסימן מתהפך: $\displaystyle <$ הופך ל-$\displaystyle >$, ו-$\displaystyle \leq$ הופך ל-$\displaystyle \geq$.

• הסיבה: כפל ב-$\displaystyle -1$ מעביר כל מספר לצד השני של 0 על ציר המספרים, כמו במראה – ולכן הסדר מתהפך.
• דוגמה: 2 משמאל ל-5, כלומר $\displaystyle 2<5$. אבל $\displaystyle -2$ מימין ל-$\displaystyle -5$, כלומר $\displaystyle -2>-5$.

חילקנו במספר חיובי, 3, ולכן הסימן נשאר. קבוצת הפתרונות: $\displaystyle x<4$.
בדיקה: 0 הוא פתרון, כי $\displaystyle {3\cdot0-5}={-5}$ ו-$\displaystyle -5<7$; 10 אינו פתרון, כי $\displaystyle {3\cdot10-5}={25}$ ו-$\displaystyle 25<7$ אינו נכון.

חילקנו ב-$\displaystyle -2$, ולכן הסימן התהפך: $\displaystyle \geq$ הפך ל-$\displaystyle \leq$.
בדיקה: $\displaystyle -5$ הוא פתרון, כי $\displaystyle {4-2\cdot(-5)}={14}$ ו-$\displaystyle 14\geq10$.

פתרו את אי־השוויונות.
הציגו את קבוצת הפתרונות של כל אחד מהם על ציר ה-$\displaystyle x$ שמתחת.

כמו במשוואה: פותחים סוגריים, מעבירים את האיברים עם $\displaystyle x$ לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני.

פתרו.
באי־שוויון עם שברים, כפלו קודם את שני האגפים במכנה משותף.

לפעמים $\displaystyle x$ מתבטל, ונשארת טענה בלי $\displaystyle x$ – כמו במשוואות המיוחדות.

• $\displaystyle 2(x+1)<2x-3$, כלומר $\displaystyle 2x+2<2x-3$. אחרי $\displaystyle -2x$ נשאר $\displaystyle 2<-3$ – טענה שקרית. אין פתרון לאי־השוויון.
• $\displaystyle 3x+4>3(x-1)$, כלומר $\displaystyle 3x+4>3x-3$. אחרי $\displaystyle -3x$ נשאר $\displaystyle 4>-3$ – טענה נכונה. כל מספר הוא פתרון.

פתרו.

בבעיות מילוליות, המילים האלה הופכות לסימנים:

• לפחות 10 – 10 או יותר: $\displaystyle \geq10$;
• לכל היותר 10 – 10 או פחות: $\displaystyle \leq10$;
• יותר מ-10: $\displaystyle >10$;
• פחות מ-10: $\displaystyle <10$.

לנועה יש 120 ₪, ובכל שבוע היא חוסכת עוד 35 ₪.
אחרי כמה שבועות יהיו לה לפחות 400 ₪?

נסמן ב-$\displaystyle x$ את מספר השבועות. אחרי $\displaystyle x$ שבועות יהיו לנועה $\displaystyle 120+35x$ שקלים, וזה צריך להיות לפחות 400:

אחרי 8 שבועות או יותר יהיו לנועה לפחות 400 ₪.

מעלית יכולה לשאת לכל היותר 600 ק"ג.
פועל ששוקל 80 ק"ג מעלה במעלית ארגזים של 25 ק"ג כל אחד.
כמה ארגזים לכל היותר הוא יכול להעלות איתו בבת אחת?
כתבו אי־שוויון ופתרו אותו.

בחדר כושר יש שני מנויים.
מנוי א’: דמי הרשמה של 200 ₪, ועוד 50 ₪ לחודש.
מנוי ב’: בלי דמי הרשמה, 90 ₪ לחודש.
מכמה חודשים מנוי א’ זול יותר?

אחרי $\displaystyle x$ חודשים מנוי א’ עולה $\displaystyle 200+50x$ שקלים, ומנוי ב’ – $\displaystyle 90x$ שקלים. מנוי א’ זול יותר כאשר:

מנוי א’ זול יותר אם מתאמנים יותר מ-5 חודשים, כלומר מ-6 חודשים והלאה. גם הגרף מראה את זה: משמאל ל-$\displaystyle {x}={5}$ הקו $\displaystyle {y}={200+50x}$ מעל הקו $\displaystyle {y}={90x}$, ומימין ל-$\displaystyle {x}={5}$ – מתחתיו.

משכירים אופניים.
בחנות א’ משלמים 30 ₪, ועוד 6 ₪ לכל שעה.
בחנות ב’ משלמים 12 ₪ לכל שעה.
סמנו על הגרף את נקודת המפגש של שני הקווים.
כתבו אי־שוויון ופתרו אותו: מכמה שעות רכיבה חנות א’ זולה יותר?