פונקציה קווית: גרף שהוא קו ישר

פונקציה קווית היא פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר.

$\displaystyle {y}={2x}$ , $\displaystyle {y}={x+3}$ ו- $\displaystyle {y}={-x+4}$ הן פונקציות קוויות.
$\displaystyle {y}={x^{2}}$ אינה פונקציה קווית: הגרף שלה מתעקל.

הפונקציה

\displaystyle {y}={2x}

בכל צעד ימינה בטבלה

\displaystyle x

גדל ב-1, ו-

\displaystyle y

גדל ב-2.

ב- $\displaystyle {y}={2x}$ כל ערך של $\displaystyle y$ הוא פי 2 מה- $\displaystyle x$ שלו:

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle y$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 6$

כל עמודה בטבלה היא נקודה במערכת הצירים, וכל הנקודות נמצאות על קו ישר אחד.

\displaystyle y=2x

\displaystyle (-2,-4)

\displaystyle (-1,-2)

\displaystyle (0,0)

\displaystyle (1,2)

\displaystyle (2,4)

\displaystyle (3,6)

גם כל נקודה שבין הנקודות של הטבלה נמצאת על הישר: $\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$ נותן $\displaystyle {y}={1}$ , והנקודה $\displaystyle (\frac{1}{2},1)$ על הישר. לכן מחברים את הנקודות בקו.

הפונקציה

\displaystyle {y}={x+3}

ב- $\displaystyle {y}={x+3}$ כל ערך של $\displaystyle y$ גדול ב-3 מה- $\displaystyle x$ שלו:

$\displaystyle x$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 5$

בכל צעד ימינה $\displaystyle y$ גדל ב-1.

\displaystyle y=x+3

\displaystyle y=x

הקו המקווקו הוא הגרף של $\displaystyle {y}={x}$ . כל נקודה של $\displaystyle {y}={x+3}$ גבוהה ב-3 מהנקודה של $\displaystyle {y}={x}$ שמתחתיה, ולכן שני הישרים מקבילים.

הפונקציה

\displaystyle {y}={-x+4}

ב- $\displaystyle {y}={-x+4}$ מחשבים $\displaystyle 4$ פחות $\displaystyle x$ :

$\displaystyle x$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$

בכל צעד ימינה $\displaystyle y$ קטן ב-1, ולכן הישר יורד משמאל לימין.

\displaystyle y=-x+4

צעדים שווים בטבלה

הצעדים של

\displaystyle x

צריכים להיות שווים: אם

\displaystyle x

קופץ פעם ב-1 ופעם ב-2, גם הצעדים של

\displaystyle y

יהיו שונים.

בטבלה של פונקציה קווית, כש- $\displaystyle x$ גדל בצעדים שווים, $\displaystyle y$ משתנה בכל צעד באותו מספר.

ב- $\displaystyle {y}={2x}$ – גדל ב-2 בכל צעד.
ב- $\displaystyle {y}={x+3}$ – גדל ב-1.
ב- $\displaystyle {y}={-x+4}$ – קטן ב-1.

ב- $\displaystyle {y}={x^{2}}$ זה לא כך:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 16$

$\displaystyle y$ גדל ב-1, אחר כך ב-3, ב-5 וב-7 – בכל צעד יותר. לכן הגרף שלה מתעקל כלפי מעלה.

\displaystyle y=x^{2}

תרגיל 1

איזו מהטבלאות יכולה להיות טבלה של פונקציה קווית?
בטבלאות האלה כתבו בכמה משתנה $\displaystyle y$ בכל צעד.

א.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 13$

ב.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 10$

ג.

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 0$

ד.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 9$

נקודה על הישר

נקודה נמצאת על הגרף של פונקציה כשהיא מקיימת את הנוסחה שלה. נציב את שיעור ה- $\displaystyle x$ של הנקודה בנוסחה, ונבדוק אם יוצא שיעור ה- $\displaystyle y$ שלה.
נבדוק שתי נקודות על הישר $\displaystyle {y}={2x+1}$ :

$\displaystyle A(3,7)$ : $\displaystyle {2\cdot3+1}={7}$ . יצא 7, ולכן $\displaystyle A$ על הישר.
$\displaystyle B(4,10)$ : $\displaystyle {2\cdot4+1}={9}$ . יצא 9 ולא 10, ולכן $\displaystyle B$ אינה על הישר: היא מעליו.

\displaystyle y=2x+1

\displaystyle A=(3,7)

\displaystyle B=(4,10)

תרגיל 2

אילו מהנקודות נמצאות על הישר $\displaystyle {y}={3x-2}$ ?
חשבו בכל נקודה את ערך הנוסחה, והשוו לשיעור ה- $\displaystyle y$ שלה.

\displaystyle (2,4)

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle (-1,-5)

\displaystyle (0,2)

\displaystyle (5,12)

תרגיל 3

השלימו טבלה של הפונקציה $\displaystyle {y}={-2x+3}$ עבור $\displaystyle {x}={-1, 0, 1, 2, 3}$ .
סמנו את הנקודות של הטבלה במערכת הצירים.
אחר כך הציגו את הגרף של הפונקציה, ובדקו שכל הנקודות שלכם עליו.

\displaystyle y=-2x+3

תרגיל 4

הישרים $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו- $\displaystyle {y}={-x+4}$ נפגשים בנקודה אחת.
סמנו אותה.
הראו בהצבה שהנקודה נמצאת על שני הישרים.

\displaystyle y=2x+1

\displaystyle y=-x+4

נוסחאות: אלגברה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

הפונקציה הקווית

פונקציה קווית – $\displaystyle m$ השיפוע; הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,b)$
$\displaystyle y=mx+b$
השיפוע של הישר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
לישרים מקבילים אותו שיפוע
$\displaystyle m_1=m_2$
ישר שעובר בראשית הצירים – $\displaystyle {b}={0}$
$\displaystyle y=mx$
ישר אופקי – השיפוע 0
$\displaystyle y=b$

בעיות מילוליות

$\displaystyle p$ אחוזים מ- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$
$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

אי־שוויונות

מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים – הסימן נשאר
$\displaystyle a+c<b+c$ $\displaystyle a<b$
כופלים או מחלקים במספר חיובי – הסימן נשאר
$\displaystyle a\cdot c<b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c>0$
כופלים או מחלקים במספר שלילי – הסימן מתהפך
$\displaystyle a\cdot c>b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c<0$