בעיות תנועה

דרך, מהירות וזמן

היחידות מתאימות זו לזו: קמ"ש, שעות וק"מ. חצי שעה היא

\displaystyle 0.5

שעה, ו-15 דקות הן

\displaystyle 0.25

שעה.

מי שנע במהירות קבועה עובר בכל שעה אותה דרך. לכן הדרך היא המהירות כפול הזמן:

\displaystyle s

\displaystyle =

\displaystyle v\cdot t

$\displaystyle s$ – הדרך (בק"מ), $\displaystyle v$ – המהירות (בקמ"ש), $\displaystyle t$ – הזמן (בשעות).
במהירות 60 קמ"ש עוברים 60 ק"מ בכל שעה, ובשעתיים $\displaystyle {60\cdot2}={120}$ ק"מ.
מאותה נוסחה: הזמן הוא הדרך חלקי המהירות. 120 ק"מ במהירות 80 קמ"ש נמשכים $\displaystyle {\frac{120}{80}}={1.5}$ שעות.
והמהירות היא הדרך חלקי הזמן.

תרגיל 1

חשבו.

רכבת נוסעת 3.5 שעות במהירות 90 קמ"ש.
איזו דרך היא עוברת?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

רוכבת אופניים עוברת 45 ק"מ במהירות 18 קמ"ש.
כמה שעות היא רוכבת?

טיול של 6 ק"מ ברגל נמשך שעה וחצי.
מה הייתה המהירות?

דוגמה: זו לקראת זו

המשאית יצאה שעה אחרי המכונית, ולכן נסעה שעה אחת פחות:

\displaystyle x-1

המרחק בין שתי ערים הוא 360 ק"מ.
מכונית יוצאת מעיר אחת במהירות 80 קמ"ש.
שעה אחר כך יוצאת משאית מהעיר השנייה לקראתה, במהירות 60 קמ"ש.
אחרי כמה שעות הן נפגשות?

$\displaystyle x$ – זמן הנסיעה של המכונית, בשעות. טבלה מסדרת את שתי התנועות: שורה לכל אחת, ובכל שורה הדרך היא המהירות כפול הזמן.

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
מכונית	80	$\displaystyle x$	$\displaystyle 80x$
משאית	60	$\displaystyle x-1$	$\displaystyle 60(x-1)$

כשהן נפגשות, יחד הן עברו את כל המרחק בין הערים:

\begin{aligned}80x+60(x-1)&=360\\ 140x-60&=360 &&/+60\\ 140x&=420 &&/:140\\ x&=3\end{aligned}

תשובה: הן נפגשות 3 שעות אחרי שהמכונית יצאה. בדיקה: המכונית עברה $\displaystyle {80\cdot3}={240}$ ק"מ, והמשאית $\displaystyle {60\cdot2}={120}$ ק"מ – יחד 360 ק"מ.

תרגיל 2

המרחק בין שני יישובים הוא 84 ק"מ.
רוכב אופניים יוצא מיישוב אחד במהירות 18 קמ"ש.
שעה אחר כך יוצא רוכב מהיישוב השני לקראתו, במהירות 15 קמ"ש.
אחרי כמה שעות מהיציאה של הרוכב הראשון הם ייפגשו?
כמה רחוק מהיישוב שלו יהיה אז הרוכב הראשון?
בנו טבלה כמו בדוגמה.

אחרי כמה שעות

הרוכב הראשון מהיישוב שלו (ק"מ)

דוגמה: זה אחרי זה

דנה יוצאת לטיול ברגל במהירות 6 קמ"ש.
שעתיים אחריה יוצא רון באותה דרך, על אופניים, במהירות 18 קמ"ש.
אחרי כמה שעות רון משיג את דנה?

$\displaystyle x$ – זמן הרכיבה של רון; דנה הולכת שעתיים יותר, $\displaystyle x+2$ .

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
רון	18	$\displaystyle x$	$\displaystyle 18x$
דנה	6	$\displaystyle x+2$	$\displaystyle 6(x+2)$

כשרון משיג את דנה, שניהם באותה נקודה – הם עברו אותה דרך:

\begin{aligned}18x&=6(x+2)\\ 18x&=6x+12 &&/-6x\\ 12x&=12 &&/:12\\ x&=1\end{aligned}

תשובה: אחרי שעה של רכיבה, 18 ק"מ מנקודת היציאה. בדיקה: דנה הלכה 3 שעות, $\displaystyle {6\cdot3}={18}$ ק"מ.

תרגיל 3

אוטובוס יוצא מתחנה בשעה 8:00 ונוסע במהירות 60 קמ"ש.
מכונית יוצאת מאותה תחנה בשעה 9:00, באותה דרך, במהירות 90 קמ"ש.
באיזו שעה המכונית תשיג את האוטובוס?
כמה רחוק מהתחנה זה יהיה?

השעה

המרחק מהתחנה (ק"מ)

דוגמה: הלוך וחזור

הדרך הלוך והדרך חזור שוות – רק הזמנים שונים.

רוכב אופניים רכב אל אגם במהירות 20 קמ"ש, וחזר באותה דרך במהירות 15 קמ"ש.
הרכיבה הלוך וחזור נמשכה 7 שעות.
כמה רחוק האגם?

$\displaystyle x$ – זמן הרכיבה הלוך; הזמן חזור הוא $\displaystyle 7-x$ . הדרך הלוך, $\displaystyle 20x$ , שווה לדרך חזור, $\displaystyle 15(7-x)$ :

\begin{aligned}20x&=15(7-x)\\ 20x&=105-15x &&/+15x\\ 35x&=105 &&/:35\\ x&=3\end{aligned}

תשובה: הדרך הלוך היא $\displaystyle {20\cdot3}={60}$ ק"מ – האגם רחוק 60 ק"מ. בדיקה: חזור $\displaystyle {15\cdot4}={60}$ ק"מ.

אפשר גם לסמן ב- $\displaystyle x$ את הדרך. אז הזמנים הם $\displaystyle \frac{x}{20}$ ו- $\displaystyle \frac{x}{15}$ , והמשוואה היא $\displaystyle {\frac{x}{20}+\frac{x}{15}}={7}$ . כפל ב-60 נותן $\displaystyle {3x+4x}={420}$ , ושוב $\displaystyle {x}={60}$ .

תרגיל 4

נועה עלתה בשביל לראש גבעה במהירות 3 קמ"ש, וירדה באותו שביל במהירות 5 קמ"ש.
העלייה והירידה נמשכו יחד 4 שעות.
מה אורך השביל?

תרגיל 5

רכבת במהירות 120 קמ"ש עוברת דרך בין שתי ערים בשעה אחת פחות מאוטובוס במהירות 80 קמ"ש.
מה אורך הדרך בין הערים?

תרגיל 6

שתי מכוניות יוצאות באותה שעה מאותה נקודה, בכיוונים הפוכים.
אחת נוסעת במהירות 70 קמ"ש, והשנייה במהירות 50 קמ"ש.
אחרי כמה זמן יהיה ביניהן מרחק של 300 ק"מ?

נוסחאות: אלגברה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

הפונקציה הקווית

פונקציה קווית – $\displaystyle m$ השיפוע; הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,b)$
$\displaystyle y=mx+b$
השיפוע של הישר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
לישרים מקבילים אותו שיפוע
$\displaystyle m_1=m_2$
ישר שעובר בראשית הצירים – $\displaystyle {b}={0}$
$\displaystyle y=mx$
ישר אופקי – השיפוע 0
$\displaystyle y=b$

בעיות מילוליות

$\displaystyle p$ אחוזים מ- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$
$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

אי־שוויונות

מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים – הסימן נשאר
$\displaystyle a+c<b+c$ $\displaystyle a<b$
כופלים או מחלקים במספר חיובי – הסימן נשאר
$\displaystyle a\cdot c<b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c>0$
כופלים או מחלקים במספר שלילי – הסימן מתהפך
$\displaystyle a\cdot c>b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c<0$