קצב שינוי

קצב השינוי של פונקציה הוא בכמה משתנה $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle x$ גדל ב-1.

קצב שינוי קבוע: בכל צעד של 1 ב- $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ משתנה באותו מספר.
קצב שינוי משתנה: בצעדים שונים $\displaystyle y$ משתנה במספרים שונים.

נר שנשרף: קצב שינוי קבוע

ציר ה-

\displaystyle x

: שעות. ציר ה-

\displaystyle y

: גובה הנר בס"מ.

נר שגובהו 20 ס"מ דולק, ובכל שעה הוא מתקצר ב-3 ס"מ.

זמן (שעות)	0	1	2	3	4
גובה (ס"מ)	20	17	14	11	8

בכל שעה הגובה יורד באותה כמות. קצב השינוי קבוע: $\displaystyle -3$ ס"מ לשעה. המינוס אומר שהגובה יורד. הגרף ישר.

\displaystyle y=20-3x

כדור שנופל: קצב שינוי משתנה

כדור שנופל מגג בניין הולך ומאיץ. הטבלה מראה כמה מטרים הוא נפל אחרי כל שנייה:

זמן (שניות)	0	1	2	3
דרך (מטרים)	0	5	20	45

בשנייה הראשונה הכדור נפל 5 מטרים, בשנייה הבאה 15, ובזו שאחריה 25. קצב השינוי משתנה – גדל בכל שנייה – והגרף מתעקל.

\displaystyle y=5x^{2}

קצב שינוי קבוע וגרף ישר

לפונקציה עם קצב שינוי קבוע יש גרף ישר: היא פונקציה קווית. וגם להפך – אם הגרף ישר, קצב השינוי קבוע.

קצב חיובי: הישר עולה משמאל לימין.
קצב שלילי: הישר יורד.
קצב 0: הישר אופקי, והערך של $\displaystyle y$ לא משתנה.

מונית וחניון

מונית לוקחת 12 ₪ בכניסה, ועוד 4 ₪ לכל קילומטר.

דרך (ק"מ)	0	1	2	3	4
מחיר (₪)	12	16	20	24	28

כל קילומטר מוסיף 4 ₪: קצב שינוי קבוע, 4 ₪ לקילומטר.

חניון לוקח 10 ₪ על השעה הראשונה ו-6 ₪ על כל שעה נוספת, אבל לא יותר מ-34 ₪ ליום.

זמן (שעות)	1	2	3	4	5	6
מחיר (₪)	10	16	22	28	34	34

עד השעה החמישית כל שעה מוסיפה 6 ₪, ואחריה – 0 ₪. קצב השינוי משתנה.

קצב השינוי בין שתי עמודות

בדיקה: גם בין 5 ל-10 דקות נכנסו 250 ליטר – הקצב קבוע.

כש- $\displaystyle x$ קופץ בטבלה ביותר מ-1, מחלקים את השינוי ב- $\displaystyle y$ בשינוי ב- $\displaystyle x$ .
ממלאים בריכה מתנפחת:

זמן (דקות)	0	5	10	15
מים (ליטרים)	100	350	600	850

ב-5 דקות נכנסו $\displaystyle {350-100}={250}$ ליטר. בדקה אחת: $\displaystyle {\frac{250}{5}}={50}$ . קצב השינוי הוא 50 ליטר לדקה.

תרגיל 1

באיזו טבלה קצב השינוי קבוע, ובאיזו הוא משתנה?
כשהקצב קבוע, כתבו אותו.

א. החיסכון של רוני:

שבועות	0	1	2	3	4
חיסכון (₪)	50	80	110	140	170

ב. גובה של שתיל:

ימים	1	2	3	4	5
גובה (ס"מ)	2	3	5	8	12

ג.

$\displaystyle x$	0	2	4	6
$\displaystyle y$	30	26	22	18

ד.

$\displaystyle x$	0	1	2	3
$\displaystyle y$	1	2	4	8

תרגיל 2

בבריכה יש 1200 ליטר מים.
פותחים את פתח הניקוז, ובכל דקה יוצאים מהבריכה 40 ליטר.

השלימו טבלה של כמות המים אחרי 0, 5, 10, 15 ו-20 דקות.
מהו קצב השינוי?
כתבו משוואה ופתרו אותה: אחרי כמה דקות הבריכה תתרוקן?

קצב השינוי

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

נועה ואיתי יצאו יחד לטיול אופניים.
הגרפים מראים כמה קילומטרים עבר כל אחד מהם (ציר ה- $\displaystyle y$ ) לפי הזמן בשעות (ציר ה- $\displaystyle x$ ).
$\displaystyle f$ – נועה, $\displaystyle g$ – איתי.

מי מהם רכב בקצב קבוע? מה הקצב שלו?
כמה קילומטרים עבר איתי בכל אחת משלוש השעות?
אחרי כמה שעות הם היו באותו מקום?

\displaystyle f(x)=15x

\displaystyle g(x)

הקצב הקבוע

באותו מקום (שעות)

תרגיל 4

באילו מהמצבים קצב השינוי קבוע? הסבירו.

המחיר של גבינה לפי המשקל שלה.
הגובה של ילד לפי הגיל שלו.
הדרך של רכבת שנוסעת כל הזמן במהירות 120 קמ"ש, לפי הזמן.
הטמפרטורה בחוץ במשך יום אחד, לפי השעה.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

הפונקציה הקווית

פונקציה קווית – $\displaystyle m$ השיפוע; הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,b)$
$\displaystyle y=mx+b$
השיפוע של הישר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
לישרים מקבילים אותו שיפוע
$\displaystyle m_1=m_2$
ישר שעובר בראשית הצירים – $\displaystyle {b}={0}$
$\displaystyle y=mx$
ישר אופקי – השיפוע 0
$\displaystyle y=b$

בעיות מילוליות

$\displaystyle p$ אחוזים מ- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$
$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

אי־שוויונות

מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים – הסימן נשאר
$\displaystyle a+c<b+c$ $\displaystyle a<b$
כופלים או מחלקים במספר חיובי – הסימן נשאר
$\displaystyle a\cdot c<b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c>0$
כופלים או מחלקים במספר שלילי – הסימן מתהפך
$\displaystyle a\cdot c>b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c<0$