דלג לתוכן

השיפוע של ישר

אלגברה, כיתה ח' שיעור 10 מתוך 27לימוד

השיפוע של ישר

השיפוע של ישר הוא קצב השינוי של הפונקציה שלו: בכמה משתנה y\displaystyle y כש-x\displaystyle x גדל ב-1. מסמנים אותו באות m\displaystyle m.

  • הקצב של פונקציה קווית קבוע, ולכן לישר יש שיפוע אחד – בכל מקום עליו.
  • השיפוע מראה לאן הישר הולך ועד כמה הוא תלול.
שיפוע משתי נקודות
אפשר להתחיל מכל אחת מהנקודות, אם מתחילים ממנה גם במונה וגם במכנה: 3−91−4=−6−3=2\displaystyle {\frac{3-9}{1-4}}={\frac{-6}{-3}}={2}.

בין שתי נקודות על ישר, מחלקים את השינוי ב-y\displaystyle y בשינוי ב-x\displaystyle x:

m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

(x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) היא נקודה אחת ו-(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2) היא השנייה.

y=2x+1\displaystyle y=2x+1
A=(1,3)\displaystyle A=(1,3)
B=(4,9)\displaystyle B=(4,9)

השיפוע של הישר דרך A(1,3)\displaystyle A(1,3) ו-B(4,9)\displaystyle B(4,9):

  • השינוי ב-y\displaystyle y: 9−3=6\displaystyle {9-3}={6}.
  • השינוי ב-x\displaystyle x: 4−1=3\displaystyle {4-1}={3}.
  • m=63=2\displaystyle {m}={\frac{6}{3}}={2}: בכל צעד של 1 ימינה, הישר עולה 2.
שיפוע חיובי, שלילי ואפס
לישר אנכי, כמו x=2\displaystyle {x}={2}, אין שיפוע: השינוי ב-x\displaystyle x הוא 0, ואי אפשר לחלק ב-0. ישר אנכי גם אינו גרף של פונקציה.

הסימן של השיפוע אומר לאן הישר הולך, כשקוראים אותו משמאל לימין:

  • שיפוע חיובי – הישר עולה. ל-y=2x+1\displaystyle {y}={2x+1} השיפוע 2\displaystyle 2.
  • שיפוע שלילי – הישר יורד. ל-y=−12x+2\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+2} השיפוע −12\displaystyle -\frac{1}{2}: בכל צעד ימינה הוא יורד חצי.
  • שיפוע 0 – הישר אופקי. ב-y=3\displaystyle {y}={3} כל הנקודות באותו גובה, ו-y\displaystyle y לא משתנה.
y=2x+1\displaystyle y=2x+1
y=−12x+2\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2
y=3\displaystyle y=3
שיפוע ותלילות

ככל שהשיפוע רחוק יותר מ-0, הישר תלול יותר.

  • y=13x\displaystyle {y}={\frac{1}{3}x}: שיפוע 13\displaystyle \frac{1}{3} – עולה לאט.
  • y=x\displaystyle {y}={x}: שיפוע 1.
  • y=3x\displaystyle {y}={3x}: שיפוע 3 – תלול.
  • y=−3x\displaystyle {y}={-3x} (מקווקו): שיפוע −3\displaystyle -3 – תלול באותה מידה, אבל יורד.
y=13x\displaystyle y=\frac{1}{3}x
y=x\displaystyle y=x
y=3x\displaystyle y=3x
y=−3x\displaystyle y=-3x
ישרים מקבילים

ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים. הם עולים באותו קצב, ולכן המרחק האנכי ביניהם לא משתנה ואינם נפגשים.

  • ל-y=2x\displaystyle {y}={2x}, ל-y=2x+3\displaystyle {y}={2x+3} ול-y=2x−2\displaystyle {y}={2x-2} אותו שיפוע, 2, והם מקבילים.
  • גם להפך: לישרים מקבילים (שאינם אנכיים) יש אותו שיפוע.
y=2x\displaystyle y=2x
y=2x+3\displaystyle y=2x+3
y=2x−2\displaystyle y=2x-2
תרגיל 1

חשבו את השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות.
כתבו לכל ישר אם הוא עולה, יורד או אופקי.

א
(2,1)\displaystyle (2,1), (5,7)\displaystyle (5,7)

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    (−1,4)\displaystyle (-1,4), (3,−4)\displaystyle (3,-4)

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      (0,5)\displaystyle (0,5), (6,8)\displaystyle (6,8)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד
        (−3,2)\displaystyle (-3,2), (4,2)\displaystyle (4,2)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          מצאו מהגרף את השיפוע של כל אחד מהישרים.
          בחרו על כל ישר שתי נקודות שבהן הוא עובר בדיוק בפינה של משבצת.

          f(x)= ?\displaystyle f(x)=\,?
          g(x)= ?\displaystyle g(x)=\,?
          f\displaystyle f

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            g\displaystyle g

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              חשבו את השיפועים של הישרים AB\displaystyle AB, CD\displaystyle CD ו-EF\displaystyle EF.
              אילו מהם מקבילים?

              A=(0,1)\displaystyle A=(0,1)
              B=(2,5)\displaystyle B=(2,5)
              C=(1,−2)\displaystyle C=(1,-2)
              D=(3,2)\displaystyle D=(3,2)
              E=(−1,4)\displaystyle E=(-1,4)
              F=(2,−2)\displaystyle F=(2,-2)
              AB\displaystyle AB

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                CD\displaystyle CD

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  EF\displaystyle EF

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    ישר עובר דרך הנקודה (1,2)\displaystyle (1,2).
                    השיפוע שלו 3.

                    • מצאו עוד שתי נקודות על הישר.
                    • האם הנקודה (4,11)\displaystyle (4,11) על הישר? הסבירו.