סוגריים, שברים ומשוואות מיוחדות

משוואה ארוכה – עם סוגריים בשני האגפים או עם שברים – מפשטים עד שמגיעים למשוואה פשוטה, כמו $\displaystyle {3x}={12}$. לפעמים בדרך ה-$\displaystyle x$ נעלם משני האגפים, ואז למשוואה אין פתרון, או שכל $\displaystyle x$ הוא פתרון שלה.

מינוס לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר שבתוכם: $\displaystyle {-(2x-5)}={-2x+5}$.
בדוגמה שלפניכם נפתח את הסוגריים בשני האגפים, נכנס איברים דומים, ורק אחר כך נפתור:

בדיקה: באגף הראשון $\displaystyle {4\cdot1-3}={1}$, ובאגף השני $\displaystyle {3\cdot5-14}={1}$.

פתרו.

את משוואה עם שברים הופכים למשוואה בלי שברים: כופלים את שני האגפים במכנה משותף של כל השברים.
בדוגמה שלפניכם המכנים הם 2 ו-5, ולכן נכפול ב-10:

• $\displaystyle {10\cdot\frac{x+1}{2}}={5(x+1)}$: $\displaystyle {10:2}={5}$, והמכנה נעלם.
• המונה $\displaystyle x-2$ נכנס לסוגריים: המינוס שלפני השבר חל על כל המונה.
• גם 3 נכפל ב-10: כופלים כל איבר בשני האגפים.

פתרו.
בצעד הראשון כפלו את שני האגפים במכנה המשותף.

כשמעבירים את כל האיברים עם $\displaystyle x$ לאגף אחד, לפעמים הם מתבטלים ונשאר $\displaystyle 0x$. ‏$\displaystyle 0x$ הוא 0, מה שלא יהיה $\displaystyle x$:

• $\displaystyle {0x}={5}$: אין מספר שכפול 0 נותן 5 – אין פתרון.
• $\displaystyle {0x}={0}$: כל מספר כפול 0 נותן 0 – כל $\displaystyle x$ הוא פתרון.

למשוואה הראשונה אין פתרון. בשנייה כל $\displaystyle x$ הוא פתרון: שני האגפים הם ביטויים שווים.

משוואה שואלת: בעבור איזה $\displaystyle x$ שני האגפים שווים? “אין פתרון” ו"כל $\displaystyle x$" עונים על השאלה הזאת גם בסיפור.
חברה א’ גובה 30 ₪ בחודש, ועוד 2 ₪ לכל ג’יגה.
חברה ב’ גובה 20 ₪ בחודש, ועוד 2 ₪ לכל ג’יגה.
באיזו כמות ג’יגה המחיר בשתי החברות שווה?

נסמן ב-$\displaystyle x$ את מספר הג’יגות: $\displaystyle {30+2x}={20+2x}$. נחסיר $\displaystyle 2x$ ו-20 משני האגפים, ונקבל $\displaystyle {0x}={10}$ – אין פתרון. בחברה א’ משלמים תמיד 10 ₪ יותר, בכל כמות.

בגרף: $\displaystyle {y}={2x+30}$ ו-$\displaystyle {y}={2x+20}$ (המקווקו) הם ישרים עם אותו שיפוע, 2. שניהם עולים ב-2 בכל צעד של $\displaystyle x$, ולכן המרחק ביניהם נשאר 10 – הם מקבילים ואינם נפגשים.

אילו גם בחברה ב’ המחיר הקבוע היה 30 ₪, המשוואה הייתה $\displaystyle {30+2x}={30+2x}$ – כל $\displaystyle x$ הוא פתרון: שני הגרפים הם אותו ישר, והמחיר שווה בכל כמות.

פתרו.
לכל משוואה יש פתרון אחד, אין לה פתרון, או שכל $\displaystyle x$ הוא פתרון שלה.

בחוג כדורסל משלמים 50 ₪ דמי הרשמה ועוד 40 ₪ לכל חודש.
בחוג שחייה משלמים 80 ₪ דמי הרשמה ועוד 40 ₪ לכל חודש.
אחרי כמה חודשים ישלמו בשני החוגים אותו סכום?
כתבו משוואה ופתרו אותה.
מה אומרת התשובה על שני החוגים?

נועה פתרה את המשוואה $\displaystyle {2(x+3)}={2x+6}$.
היא קיבלה $\displaystyle {2x+6}={2x+6}$, ואחר כך $\displaystyle {0x}={0}$.
היא כתבה: “לכן $\displaystyle {x}={0}$.”
במה טעתה?
מה התשובה הנכונה?