פתרון מערכת בשיטת ההצבה

בשיטת ההצבה הופכים את המערכת למשוואה עם נעלם אחד, ואותה כבר יודעים לפתור. השלבים:

• מבודדים נעלם באחת המשוואות, למשל $\displaystyle {y}={\ldots}$
• מציבים את הביטוי שקיבלנו במקום הנעלם הזה במשוואה השנייה – ומתקבלת משוואה עם נעלם אחד.
• פותרים אותה.
• מציבים את התוצאה בביטוי המבודד, ומוצאים את הנעלם השני.
• כותבים את הפתרון כזוג סדור $\displaystyle (x,y)$ ובודקים אותו בשתי המשוואות.

בגרף אפשר לקרוא את נקודת החיתוך במדויק רק כשהיא על משבצת שלמה. בהצבה מוצאים אותה בחשבון, גם כשהיא לא שם.

בפתרון שלפניכם נציב $\displaystyle 2x+1$ במקום $\displaystyle y$ במשוואה השנייה:

• את $\displaystyle y$ נמצא מהמשוואה המבודדת: $\displaystyle {y}={2\cdot2+1}={5}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (2,5)$.
• בדיקה: $\displaystyle {5}={2\cdot2+1}$ וגם $\displaystyle {3\cdot2+5}={11}$.

כאן אף נעלם אינו מבודד. בפתרון שלפניכם נבודד את $\displaystyle x$ במשוואה הראשונה, $\displaystyle {x}={8-2y}$, ונציב אותו במשוואה השנייה:

• $\displaystyle {x}={8-2\cdot3}={2}$.
• פתרון המערכת: $\displaystyle (2,3)$.
• בדיקה: $\displaystyle {2+2\cdot3}={8}$ וגם $\displaystyle {3\cdot2-3}={3}$.

את הביטוי שמציבים כותבים בסוגריים. מינוס לפני הסוגריים משנה את הסימן של כל איבר בתוכם.
במערכת $\displaystyle {y}={x-3}$, $\displaystyle {4x-y}={12}$:

ואז $\displaystyle {y}={3-3}={0}$, והפתרון הוא $\displaystyle (3,0)$. בלי הסוגריים היינו כותבים $\displaystyle 4x-x-3$ – וטועים בסימן של 3.

$\displaystyle {\begin{cases}y=x+3\\ 2x+y=12\end{cases}}$
כשמציבים $\displaystyle x+3$ במקום $\displaystyle y$ במשוואה השנייה, מתקבלת המשוואה שלמטה, עם $\displaystyle x$ בלבד.
פתרו אותה.
חשבו את $\displaystyle y$.
כתבו את פתרון המערכת ובדקו אותו בשתי המשוואות.

פתרו בשיטת ההצבה.