מערכת משוואות: פתרון גרפי

מערכת משוואות היא שתי משוואות עם שני נעלמים, $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$, שצריכות להתקיים יחד.
למשל: הסכום של שני מספרים הוא 10, וההפרש ביניהם הוא 2.
נסמן את המספר הגדול ב-$\displaystyle x$ ואת הקטן ב-$\displaystyle y$, ונקבל שתי משוואות:

הסוגריים המסולסלים מראים שהמשוואות שייכות זו לזו – מחפשים מספרים שמקיימים את שתיהן.

פתרון המערכת הוא זוג סדור $\displaystyle (x,y)$ שמקיים את שתי המשוואות. בודקים זוג בהצבה: מציבים את $\displaystyle x$ ואת $\displaystyle y$ בכל אחת מהמשוואות.

• $\displaystyle (6,4)$: $\displaystyle {6+4}={10}$ וגם $\displaystyle {6-4}={2}$ – שתי המשוואות מתקיימות, ולכן $\displaystyle (6,4)$ הוא פתרון המערכת.
• $\displaystyle (7,3)$: $\displaystyle {7+3}={10}$, אבל $\displaystyle {7-3}={4}$ ולא 2 – המשוואה השנייה לא מתקיימת, ולכן $\displaystyle (7,3)$ אינו פתרון.

לפניכם המערכת $\displaystyle {\begin{cases}y=2x-1\\ x+y=5\end{cases}}$
איזה מהזוגות הוא פתרון המערכת: $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (3,5)$, $\displaystyle (1,4)$?
בדקו כל זוג בשתי המשוואות.

הפתרון של מערכת משוואות קוויות הוא נקודת החיתוך של שני הישרים שלה.

• כל משוואה במערכת היא ישר. נבודד בכל אחת את $\displaystyle y$:
  • ב-$\displaystyle {x+y}={10}$ נחסר $\displaystyle x$ משני האגפים: $\displaystyle {y}={-x+10}$.
  • ב-$\displaystyle {x-y}={2}$ נוסיף $\displaystyle y$ לשני האגפים ונחסר 2: $\displaystyle {y}={x-2}$ (המקווקו).
• כל נקודה על ישר מקיימת את המשוואה שלו.
• נקודת החיתוך נמצאת על שני הישרים, ולכן היא מקיימת את שתי המשוואות: $\displaystyle (6,4)$.

לפניכם הישרים של המערכת $\displaystyle {\begin{cases}y=x+1\\ y=-2x+7\end{cases}}$
סמנו על הגרף את נקודת החיתוך שלהם.
כתבו את פתרון המערכת, ובדקו אותו בהצבה בשתי המשוואות.

לישרים $\displaystyle {y}={2x+1}$ ו-$\displaystyle {y}={2x-3}$ (המקווקו) אותו שיפוע, 2, והם חותכים את ציר $\displaystyle y$ בנקודות שונות – הם מקבילים.

• ישרים מקבילים לא נפגשים, ולכן אין להם נקודה משותפת.
• למערכת $\displaystyle {\begin{cases}y=2x+1\\ y=2x-3\end{cases}}$ אין פתרון.
• גם בחשבון רואים את זה: אם $\displaystyle {2x+1}={2x-3}$, אז $\displaystyle {1}={-3}$ – וזה לא נכון אף פעם.

במערכת $\displaystyle {\begin{cases}y=x+2\\ 2y=2x+4\end{cases}}$ המשוואה השנייה היא הראשונה כפול 2. נחלק אותה ב-2 ונקבל $\displaystyle {y}={x+2}$ – אותו ישר (המקווקו מכסה אותו).

• כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות: $\displaystyle (0,2)$, $\displaystyle (1,3)$, $\displaystyle (-2,0)$ …
• למערכת יש אינסוף פתרונות.

מספר הפתרונות של מערכת של שתי משוואות קוויות נקבע לפי השיפועים של שני הישרים:

בלי לפתור: כמה פתרונות יש לכל מערכת?
כתבו $\displaystyle {y}={\ldots}$ בכל משוואה שאינה כתובה כך, והשוו את השיפועים ואת הנקודות על ציר $\displaystyle y$.

$\displaystyle {\begin{cases}y=3x+1\\ y=3x-2\end{cases}}$

$\displaystyle {\begin{cases}y=-x+4\\ y=2x+4\end{cases}}$

$\displaystyle {\begin{cases}y=2x-6\\ 2y=4x-12\end{cases}}$

$\displaystyle {\begin{cases}x+y=5\\ y=x+5\end{cases}}$