שברים אלגבריים

שבר שיש משתנה במכנה שלו הוא שבר אלגברי: $\displaystyle \frac{3}{x}$ , $\displaystyle \frac{x+1}{x-2}$ , $\displaystyle \frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}$ . כמו שבר של מספרים, גם הוא חילוק: המונה מחולק במכנה. לכל מספר שמציבים במקום $\displaystyle x$ הוא נעשה שבר רגיל – כש- $\displaystyle {x}={4}$ , השבר $\displaystyle \frac{x+1}{x-2}$ הוא $\displaystyle \frac{5}{2}$ .

תחום ההצבה

רק המכנה חשוב. המונה יכול להיות 0: כש-

\displaystyle {x}={-1}

, השבר

\displaystyle \frac{x+1}{x-2}

הוא

\displaystyle {\frac{0}{-3}}={0}

חילוק ב-0 אינו מוגדר, ולכן אסור להציב מספר שמאפס את המכנה. המספרים שמותר להציב הם תחום ההצבה של השבר. כדי למצוא אותו, בודקים מתי המכנה שווה ל-0 – ומוציאים את המספרים האלה:

$\displaystyle \frac{5}{x-3}$ : המכנה מתאפס כש- $\displaystyle {x}={3}$ . תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq3$ .
$\displaystyle \frac{x+1}{x^{2}-4}$ : מפרקים את המכנה, $\displaystyle {x^{2}-4}={(x-2)(x+2)}$ ; הוא מתאפס כש- $\displaystyle {x}={2}$ או כש- $\displaystyle {x}={-2}$ . תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq2$ , $\displaystyle x\neq-2$ .
$\displaystyle \frac{7}{x^{2}+5x}$ : $\displaystyle {x^{2}+5x}={x(x+5)}$ . תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq0$ , $\displaystyle x\neq-5$ .

תרגיל 1

מצאו את תחום ההצבה של כל שבר.
פרקו את המכנה לגורמים כשצריך.

$\displaystyle \frac{4}{x+6}$

$\displaystyle \frac{x-1}{2x-8}$

$\displaystyle \frac{x}{x^{2}-25}$

$\displaystyle \frac{3}{x^{2}-6x}$

$\displaystyle \frac{x+2}{x^{2}+x-6}$

צמצום שבר אלגברי

שבר של מספרים מצמצמים כשמחלקים את המונה ואת המכנה בגורם משותף: $\displaystyle {\frac{6}{8}}={\frac{2\cdot3}{2\cdot4}}={\frac{3}{4}}$ . שבר אלגברי מצמצמים באותה דרך. כשהמונה והמכנה הם מכפלות, רואים מיד את הגורם המשותף:

\frac{6x}{9x^{2}}=\frac{3x\cdot2}{3x\cdot3x}=\frac{2}{3x}\qquad(x\neq0)

צמצום שבר שיש בו סכום

כשהמונה או המכנה הם סכום, קודם מפרקים כל אחד מהם לגורמים, ורק אחר כך מצמצמים:

\frac{3x+6}{x^{2}+2x}=\frac{3(x+2)}{x(x+2)}=\frac{3}{x}\qquad(x\neq0,\ x\neq-2)

את תחום ההצבה מוצאים מהשבר המקורי, לפני הצמצום: $\displaystyle -2$ לא בתחום, אף על פי שבשבר המצומצם $\displaystyle \frac{3}{x}$ אפשר היה להציב אותו.

גורמים ומחוברים בצמצום

זהירות: מוחקים רק גורמים, אף פעם לא מחובר מתוך סכום.

\displaystyle \frac{x+3}{x}

אינו

\displaystyle 3

מותר לצמצם רק גורם – משהו שכופל את כל המונה ואת כל המכנה. מחובר מתוך סכום אסור לצמצם. הצבה מראה את זה: כש- $\displaystyle {x}={1}$ , $\displaystyle {\frac{x+3}{x}}={\frac{4}{1}}={4}$ , ולא 3. את השבר $\displaystyle \frac{x+3}{x}$ אי אפשר לצמצם בכלל, וגם את $\displaystyle \frac{x+5}{x+2}$ לא.

צמצום: השלבים

מפרקים לגורמים את המונה ואת המכנה.
מוצאים את תחום ההצבה: מתי המכנה מתאפס?
מצמצמים את הגורמים המשותפים.

תרגיל 2

צמצמו את השברים: כתבו קודם את המונה ואת המכנה כמכפלות, ואחר כך צמצמו.
כתבו גם את תחום ההצבה של כל שבר.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

נועה צמצמה כך: $\displaystyle {\frac{x+6}{6}}={x}$ .
הציבו $\displaystyle {x}={6}$ בשני הביטויים והראו שהיא טעתה.
האם אפשר בכלל לצמצם את השבר $\displaystyle \frac{x+6}{6}$ ?

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$