משוואות והשוואת שטחים

כשיודעים לפתוח סוגריים בחוק הפילוג המורחב ובנוסחאות הכפל המקוצר, אפשר לפתור שני סוגים חדשים של בעיות:

משוואות ש- $\displaystyle x^{2}$ מצטמצם בהן אחרי פתיחת הסוגריים;
השוואת שטחים של צורות שהצלעות שלהן הן ביטויים.

משוואות ש-

\displaystyle x^{2}

מצטמצם בהן

כשהמקדם של

\displaystyle x^{2}

שונה בכל אגף,

\displaystyle x^{2}

לא מצטמצם: זו משוואה ריבועית, ופותרים אותה בדרכים אחרות.

כש- $\displaystyle x^{2}$ מופיע בשני האגפים עם אותו מקדם, הוא מצטמצם, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה. קודם פותחים את הסוגריים, ואחר כך מחסירים $\displaystyle x^{2}$ משני האגפים:

\begin{aligned}(x+3)(x-2)&=x^{2}+7\\ x^{2}+x-6&=x^{2}+7 &&/-x^{2}\\ x-6&=7 &&/+6\\ x&=13\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: $\displaystyle {(13+3)(13-2)}={16\cdot11}={176}$ , וגם $\displaystyle {13^{2}+7}={169+7}={176}$ – שווים.

משוואות עם נוסחאות הכפל המקוצר

מינוס לפני ביטוי שיצא מנוסחה: קודם כותבים אותו בסוגריים,

\displaystyle -(x^{2}-4x+4)

, ורק אחר כך פותחים אותם.

נוסחאות הכפל המקוצר פותחות את הסוגריים באותו אופן:

\begin{aligned}(x+4)^{2}&=(x-2)^{2}+36\\ x^{2}+8x+16&=x^{2}-4x+4+36 &&/-x^{2}\\ 8x+16&=-4x+40 &&/+4x-16\\ 12x&=24 &&/:12\\ x&=2\end{aligned}

בדיקה: $\displaystyle {(2+4)^{2}}={36}$ , וגם $\displaystyle {(2-2)^{2}+36}={0+36}={36}$ .

תרגיל 1

פתחו את הסוגריים בכל אגף, פתרו את המשוואה ובדקו את הפתרון בהצבה.

השוואת שטחים

כדי להשוות שני שטחים, מחסירים אחד מהשני ומפשטים את ההפרש. למשל, צלע של ריבוע היא $\displaystyle x$ ; מאריכים זוג אחד של צלעות ב-3 ומקצרים את הזוג השני ב-3, ומתקבל מלבן.

שטח הריבוע: $\displaystyle x^{2}$ .
שטח המלבן: $\displaystyle {(x+3)(x-3)}={x^{2}-9}$ .
ההפרש: $\displaystyle {x^{2}-(x^{2}-9)}={9}$ – הריבוע גדול יותר ב-9, לכל $\displaystyle x$ .

הגידול של שטח

כשבהפרש נשאר $\displaystyle x$ , התשובה תלויה ב- $\displaystyle x$ . הצלע של ריבוע, $\displaystyle x$ , גדלה ב-2:

השטח שלו גדל ב- $\displaystyle {(x+2)^{2}-x^{2}}={x^{2}+4x+4-x^{2}}={4x+4}$ ;
אם השטח גדל ב-24, אז $\displaystyle {4x+4}={24}$ , ולכן $\displaystyle {4x}={20}$ ו- $\displaystyle {x}={5}$ . בדיקה: $\displaystyle {7^{2}-5^{2}}={49-25}={24}$ .

תרגיל 2

כתבו ביטוי להפרש השטחים ופשטו אותו, ואז ענו על השאלות.

אורכו של מלבן אחד הוא $\displaystyle x$ ורוחבו $\displaystyle x+5$ ; אורכו של מלבן אחר הוא $\displaystyle x+2$ ורוחבו $\displaystyle x+3$ .
של איזה מלבן השטח גדול יותר, ובכמה?
האם התשובה תלויה ב- $\displaystyle x$ ?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

צלע של ריבוע היא $\displaystyle x$ .
מאריכים זוג אחד של צלעות ב-4 ומקצרים את הזוג השני ב-2, ומתקבל מלבן.
עבור איזה ערך של $\displaystyle x$ שטח הריבוע ושטח המלבן שווים?

הצלע של ריבוע גדלה ב-3 ס"מ, והשטח שלו גדל ב-51 סמ"ר.
מה הייתה הצלע בהתחלה?
בדקו את התשובה.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$