משוואות, גרף, הזזות ושיקוף

הגרף של פונקציה מראה את הפתרונות של המשוואות שלה, ושינוי בפונקציה מזיז את הגרף שלה:

• $\displaystyle {f(x)}={k}$ – היכן שהגרף פוגש את הישר האופקי $\displaystyle {y}={k}$;
• $\displaystyle f(x)+k$ ו-$\displaystyle f(x-b)$ – הגרף מוזז למעלה או למטה, ימינה או שמאלה;
• $\displaystyle -f(x)$ – הגרף משוקף בציר ה-$\displaystyle x$.

הפתרונות של $\displaystyle {f(x)}={4}$ הם שיעורי ה-$\displaystyle x$ של הנקודות שבהן הגרף של $\displaystyle f$ פוגש את הישר $\displaystyle {y}={4}$ (המקווקו). יש כאן שתי נקודות כאלה, $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$, ולכן למשוואה שני פתרונות: $\displaystyle {x}={-4}$ ו-$\displaystyle {x}={2}$.

מספר הפתרונות של $\displaystyle {f(x)}={k}$ הוא מספר נקודות המפגש של הגרף עם הישר $\displaystyle {y}={k}$. מזיזים את הישר למעלה ולמטה על הגרף שלמעלה:

• $\displaystyle {f(x)}={6}$ – פתרון אחד;
• $\displaystyle {f(x)}={0}$ – שלושה פתרונות (אחד מהם $\displaystyle {x}={0}$);
• $\displaystyle {f(x)}={4}$ – שני פתרונות: ב-$\displaystyle B$ הישר רק נוגע בגרף.

ענו לפי הגרף של $\displaystyle f$ שלמעלה.

• פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={-4}$.
• כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={2}$? ולמשוואה $\displaystyle {f(x)}={-6}$?
• לאילו ערכים של $\displaystyle k$ יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ בדיוק שני פתרונות?

הגרף המקווקו, $\displaystyle h(x)+2$, הוא הגרף של הפונקציה $\displaystyle h$ (הרציף) מוזז 2 למעלה: כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ הופכת ל-$\displaystyle (x,y+2)$. נקודות המינימום $\displaystyle (-2,-4)$ ו-$\displaystyle (2,-4)$ הופכות ל-$\displaystyle (-2,-2)$ ול-$\displaystyle (2,-2)$, ונקודת המקסימום $\displaystyle (0,0)$ הופכת ל-$\displaystyle (0,2)$.

באופן כללי, $\displaystyle f(x)+k$ מזיז את הגרף $\displaystyle k$ למעלה כאשר $\displaystyle k>0$, ולמטה כאשר $\displaystyle k<0$: $\displaystyle f(x)-3$ הוא הזזה של 3 למטה.

הגרף של $\displaystyle {g(x)}={h(x-2)}$ (המקווקו) הוא הגרף של $\displaystyle h$ מוזז 2 ימינה. הסיבה: $\displaystyle {g(4)}={h(2)}$ – הפונקציה $\displaystyle g$ מקבלת ב-$\displaystyle {x}={4}$ את הערך ש-$\displaystyle h$ מקבלת ב-$\displaystyle {x}={2}$, שני צעדים שמאלה. כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ הופכת ל-$\displaystyle (x+2,y)$: נקודת המקסימום $\displaystyle (0,0)$ הופכת ל-$\displaystyle (2,0)$.

• $\displaystyle f(x-b)$ כאשר $\displaystyle b>0$: הזזה של $\displaystyle b$ ימינה.
• $\displaystyle f(x+b)$ כאשר $\displaystyle b>0$: הזזה של $\displaystyle b$ שמאלה.

הגרף של $\displaystyle -h(x)$ (המקווקו) הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle h$ בציר ה-$\displaystyle x$ – הגרף הפוך מעבר לציר, כמו בראי: כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ הופכת ל-$\displaystyle (x,-y)$.

• נקודת מינימום הופכת לנקודת מקסימום: $\displaystyle (-2,-4)$ הופכת ל-$\displaystyle (-2,4)$.
• עלייה הופכת לירידה, וחיוביות לשליליות.
• נקודות החיתוך עם ציר ה-$\displaystyle x$ נשארות במקומן.

הזזה מעבירה את כל הגרף בלי לשנות את צורתו, ולכן מספר נקודות הקיצון וסוגן נשמרים. ושאר התכונות:

לפונקציה $\displaystyle f$ יש נקודת מינימום $\displaystyle (-1,-3)$ ונקודת מקסימום $\displaystyle (2,5)$.
היא עולה כאשר $\displaystyle -1<x<2$, ויורדת כאשר $\displaystyle x<-1$ וכאשר $\displaystyle x>2$.
כתבו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של:

$\displaystyle f(x)+4$

$\displaystyle f(x-3)$

$\displaystyle f(x+1)$

$\displaystyle -f(x)$

הגרף הרציף הוא הפונקציה $\displaystyle f$ מתחילת העמוד, עם נקודות הקיצון שלה $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$.
הגרף המקווקו הוא פונקציה $\displaystyle g$: הגרף של $\displaystyle f$ אחרי הזזה.

• כתבו את $\displaystyle g(x)$ בעזרת $\displaystyle f$.
• כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {g(x)}={2}$?

שרטטו סקיצה של הגרף של $\displaystyle h(x)-4$, עבור הפונקציה $\displaystyle h$ שלמעלה (נקודות המינימום שלה $\displaystyle (-2,-4)$ ו-$\displaystyle (2,-4)$, ונקודת המקסימום שלה $\displaystyle (0,0)$).
אחר כך, בשרטוט אחר, שרטטו את $\displaystyle h(x+3)$.