דלג לתוכן

פירוק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר

אלגברה, כיתה ט' שיעור 10 מתוך 26לימוד

פירוק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר:

(a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b) =\displaystyle = a2−b2\displaystyle a^{2}-b^{2}
(a+b)2\displaystyle (a+b)^{2} =\displaystyle = a2+2ab+b2\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}
(a−b)2\displaystyle (a-b)^{2} =\displaystyle = a2−2ab+b2\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}

כשקוראים אותן מימין לשמאל, הן פירוקים לגורמים.

הפרש ריבועים
לסכום ריבועים, כמו x2+25\displaystyle x^{2}+25, אין פירוק כזה.

שני איברים, שכל אחד מהם הוא ריבוע, ומינוס ביניהם, מתפרקים לסכום כפול הפרש:

  • x2−25=x2−52=(x+5)(x−5)\displaystyle {x^{2}-25}={x^{2}-5^{2}}={(x+5)(x-5)}
  • 4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3)\displaystyle {4x^{2}-9}={(2x)^{2}-3^{2}}={(2x+3)(2x-3)}
  • 49−y2=(7+y)(7−y)\displaystyle {49-y^{2}}={(7+y)(7-y)}
תרגיל 1

פרקו לגורמים בעזרת הפרש ריבועים.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            טרינום שהוא ריבוע של סוגריים
            בודקים את האיבר האמצעי. ב-x2+10x+16\displaystyle x^{2}+10x+16: 16=42\displaystyle {16}={4^{2}}, אבל 2⋅x⋅4=8x\displaystyle {2\cdot x\cdot4}={8x}, ולא 10x\displaystyle 10x – זה אינו ריבוע.

            טרינום הוא ריבוע של סוגריים כשהאיבר הראשון והאיבר האחרון הם ריבועים, והאיבר האמצעי הוא פעמיים המכפלה שלהם:

            • x2+10x+25\displaystyle x^{2}+10x+25: x2\displaystyle x^{2} ו-52\displaystyle 5^{2}, ו-2⋅x⋅5=10x\displaystyle {2\cdot x\cdot5}={10x}, ולכן זה (x+5)2\displaystyle (x+5)^{2};
            • x2−12x+36=(x−6)2\displaystyle {x^{2}-12x+36}={(x-6)^{2}} – מינוס באמצע נותן מינוס בסוגריים;
            • 9x2+12x+4=(3x+2)2\displaystyle {9x^{2}+12x+4}={(3x+2)^{2}} – כאן המקדם של x2\displaystyle x^{2} אינו 1, והנוסחה עובדת בכל זאת.
            תרגיל 2

            כתבו כל טרינום כריבוע של סוגריים.

            א

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    סדר הפירוק
                    הפירוק שלם כשאי אפשר להמשיך לפרק אף אחד מהגורמים.
                    1. מוציאים גורם משותף, אם יש.
                    2. מסתכלים על מה שנשאר בסוגריים:
                      • שני איברים – הפרש ריבועים;
                      • שלושה איברים – ריבוע של סוגריים, או טרינום בשיטת הסכום והמכפלה.

                    למשל:

                    • 3x2−12=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)\displaystyle {3x^{2}-12}={3(x^{2}-4)}={3(x+2)(x-2)}
                    • 2x2+12x+18=2(x2+6x+9)=2(x+3)2\displaystyle {2x^{2}+12x+18}={2(x^{2}+6x+9)}={2(x+3)^{2}}
                    • x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)\displaystyle {x^{3}-x}={x(x^{2}-1)}={x(x+1)(x-1)}
                    תרגיל 3

                    פרקו לגורמים פירוק שלם: קודם גורם משותף, אחר כך נוסחה.

                    א

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ג

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ד

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              ו

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                תרגיל 4

                                חשבו בעל פה בעזרת פירוק של הפרש ריבועים, למשל 212−192=(21+19)(21−19)=40⋅2=80\displaystyle {21^{2}-19^{2}}={(21+19)(21-19)}={40\cdot2}={80}.

                                א

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  ב

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    ג

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה