חוקי חזקות

חוקי החזקות מאפשרים לחשב עם חזקות בלי לכתוב את כל הגורמים שלהן. תזכורת מכיתה ז’: חזקה היא מכפלה של גורמים שווים.

$\displaystyle {2^5}={2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}={32}$
המספר שכופלים ( $\displaystyle 2$ ) הוא הבסיס; מספר הפעמים שהוא מופיע ( $\displaystyle 5$ ) הוא המעריך.
החוקים נכונים גם למספרים וגם למשתנים. המעריכים כאן הם מספרים שלמים – חיוביים, או 0.

כפל חזקות עם אותו בסיס

את המעריכים מחברים, לא כופלים:

\displaystyle {x^3\cdot x^4}={x^7}

, ולא

\displaystyle x^{12}

כשכופלים חזקות עם אותו בסיס, הבסיס נשאר, ואת המעריכים מחברים:

\displaystyle a^m\cdot a^n

\displaystyle =

\displaystyle a^{m+n}

למה: $\displaystyle {2^3\cdot2^4}={(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={2^7}$ – שלושה גורמים ועוד ארבעה.
$\displaystyle {x^5\cdot x^2}={x^7}$ ; $\displaystyle {\;x\cdot x^4}={x^5}$ (משתנה לבדו הוא חזקה שהמעריך שלה 1: $\displaystyle {x}={x^1}$ ).
חזקות עם בסיסים שונים נשארות כמו שהן: $\displaystyle 2^3\cdot3^4$ .

חילוק חזקות עם אותו בסיס

את המעריכים מחסירים, לא מחלקים:

\displaystyle {x^9:x^3}={x^6}

, ולא

\displaystyle x^3

כשמחלקים חזקות עם אותו בסיס, מחסירים את המעריכים:

\displaystyle a^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

\displaystyle a\neq0

למה: $\displaystyle {\dfrac{5^6}{5^2}}={\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5}}={5^4}$ – שניים מששת הגורמים מצטמצמים.
$\displaystyle {x^9:x^3}={x^6}$ ; $\displaystyle {\;\dfrac{y^7}{y}}={y^6}$ .

תרגיל 1

כתבו כחזקה אחת, או חשבו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חזקה של חזקה

השוו:

\displaystyle {(x^2)^3}={x^6}

, אבל

\displaystyle {x^2\cdot x^3}={x^5}

כשמעלים חזקה בחזקה, כופלים את המעריכים:

\displaystyle (a^m)^n

\displaystyle =

\displaystyle a^{m\cdot n}

למה: $\displaystyle {(2^3)^2}={2^3\cdot2^3}={2^6}$ – פעמיים שלושה גורמים.
$\displaystyle {(x^4)^3}={x^{12}}$ ; $\displaystyle {\;(10^2)^5}={10^{10}}$ .

חזקה של מכפלה

החזקה חלה על כל גורם שבסוגריים:

\displaystyle {(2x)^3}={8x^3}

, ולא

\displaystyle 2x^3

מכפלה בחזקה שווה למכפלת החזקות של הגורמים שלה:

\displaystyle (ab)^n

\displaystyle =

\displaystyle a^n\cdot b^n

למה: $\displaystyle {(2x)^3}={2x\cdot2x\cdot2x}={2\cdot2\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x}={8x^3}$ .
$\displaystyle {(3a^2)^2}={3^2\cdot(a^2)^2}={9a^4}$ ; $\displaystyle {\;(-xy)^3}={-x^3y^3}$ .

חזקה של שבר

שבר בחזקה הוא החזקה של המונה חלקי החזקה של המכנה:

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a^n}{b^n}

\displaystyle b\neq0

$\displaystyle {\left(\dfrac{x}{2}\right)^3}={\dfrac{x^3}{8}}$ ; $\displaystyle {\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}={\dfrac{4}{9}}$ .

תרגיל 2

פשטו.

המעריך 0

\displaystyle {3x^0}={3\cdot1}={3}

, אבל

\displaystyle {(3x)^0}={1}

כל מספר שאינו 0, בחזקת 0, שווה ל-1:

\displaystyle a^0

\displaystyle =

\displaystyle 1

\displaystyle a\neq0

למה: $\displaystyle {\dfrac{5^3}{5^3}}={1}$ (מספר חלקי עצמו), ולפי חוק החילוק $\displaystyle {\dfrac{5^3}{5^3}}={5^{3-3}}={5^0}$ . לכן $\displaystyle 5^0$ חייב להיות 1, כדי שהחוק יישאר נכון.
$\displaystyle {7^0}={1}$ ; $\displaystyle {\;(-3)^0}={1}$ ; $\displaystyle {\;x^0}={1}$ .
לביטוי $\displaystyle 0^0$ אין משמעות.

החוקים יחד

במכפלה של איברים כופלים את המספרים זה בזה, ואת החזקות של כל משתנה – לפי החוקים: $\displaystyle {3x^2\cdot5x^4}={15x^6}$ ; $\displaystyle {\;(2x^3)^2\cdot x}={4x^6\cdot x}={4x^7}$ ; $\displaystyle {\;\dfrac{x^5\cdot x^3}{x^4}}={\dfrac{x^8}{x^4}}={x^4}$ .

תרגיל 3

פשטו.

תרגיל 4

חשבו בלי מחשבון.
בסעיפים ב’ ו-ג’ המעריכים שווים – השתמשו בחוקים בכיוון ההפוך: $\displaystyle {a^n\cdot b^n}={(ab)^n}$ , $\displaystyle {\;\dfrac{a^n}{b^n}}={\left(\dfrac{a}{b}\right)^n}$ .

תרגיל 5

נועה כתבה: $\displaystyle {x^3\cdot x^4}={x^{12}}$ וגם $\displaystyle {(2x)^3}={2x^3}$ .
מה לא נכון בכל אחד מהם?
הסבירו, ופשטו נכון.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$