חוקי השורש הריבועי

חוקי השורש מאפשרים לחשב עם שורשים ולכתוב אותם בצורה פשוטה יותר. תזכורת מכיתה ז’: השורש הריבועי של מספר $\displaystyle a\ge0$ הוא המספר, חיובי או 0, שהריבוע שלו הוא $\displaystyle a$ .

$\displaystyle {\sqrt{49}}={7}$ , כי $\displaystyle {7^2}={49}$ .
$\displaystyle \sqrt{-4}$ לא קיים: הריבוע של כל מספר הוא חיובי או 0.
רוב השורשים אינם מספרים שלמים: $\displaystyle \sqrt{2}$ הוא קצת יותר מ- $\displaystyle 1.41$ .

ריבוע של שורש ושורש של ריבוע

\displaystyle {\sqrt{(-3)^2}}={\sqrt{9}}={3}

, ולא

\displaystyle -3

שורש בריבוע מחזיר את המספר שמתחתיו:

\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^2

\displaystyle =

\displaystyle a

\displaystyle a\ge0

$\displaystyle {\left(\sqrt{7}\right)^2}={7}$ – לפי ההגדרה של השורש.
ובכיוון ההפוך, $\displaystyle {\sqrt{5^2}}={\sqrt{25}}={5}$ . לכן $\displaystyle {\sqrt{a^2}}={a}$ כש- $\displaystyle a\ge0$ .
למספר שלילי, השורש של הריבוע שלו הוא המספר הנגדי: $\displaystyle {\sqrt{(-5)^2}}={\sqrt{25}}={5}$ .

שורש של מכפלה

לסכום אין חוק כזה:

\displaystyle {\sqrt{9+16}}={\sqrt{25}}={5}

, אבל

\displaystyle {\sqrt{9}+\sqrt{16}}={7}

שורש של מכפלה שווה למכפלת השורשים:

\displaystyle \sqrt{ab}

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

\displaystyle a\ge0,\ b\ge0

$\displaystyle {\sqrt{4\cdot9}}={\sqrt{36}}={6}$ , וגם $\displaystyle {\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}}={2\cdot3}={6}$ .
למה: $\displaystyle {\left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2}={\left(\sqrt{a}\right)^2\cdot\left(\sqrt{b}\right)^2}={ab}$ לפי החוק של חזקה של מכפלה, ו- $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ אינו שלילי.
בכיוון ההפוך, שני שורשים הופכים לשורש אחד: $\displaystyle {\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}}={\sqrt{16}}={4}$ .

שורש של שבר

שורש של שבר הוא השורש של המונה חלקי השורש של המכנה:

\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\displaystyle a\ge0,\ b>0

$\displaystyle {\sqrt{\dfrac{9}{25}}}={\dfrac{3}{5}}$
בכיוון ההפוך: $\displaystyle {\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}}={\sqrt{\dfrac{50}{2}}}={\sqrt{25}}={5}$ .

תרגיל 1

חשבו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פישוט שורש

\displaystyle 2\sqrt{3}

פירושו

\displaystyle 2\cdot\sqrt{3}

מפשטים שורש כשמוציאים ממנו ריבוע שלם:

\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}

מחפשים את הריבוע השלם הגדול ביותר שהמספר מתחלק בו: $\displaystyle {\sqrt{50}}={\sqrt{25\cdot2}}={5\sqrt{2}}$ .
עם ריבוע קטן יותר עוד לא סיימתם: $\displaystyle {\sqrt{72}}={\sqrt{4\cdot18}}={2\sqrt{18}}={2\cdot3\sqrt{2}}={6\sqrt{2}}$ . עם הגדול ביותר – בצעד אחד: $\displaystyle {\sqrt{72}}={\sqrt{36\cdot2}}={6\sqrt{2}}$ .
הריבועים השלמים שכדאי לחפש: $\displaystyle 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ .

תרגיל 2

פשטו.

חיבור שורשים דומים

\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}

אינו

\displaystyle \sqrt{5}

\displaystyle {1.41+1.73}={3.14}

, ו-

\displaystyle \sqrt{5}

הוא בערך

\displaystyle 2.24

שורשים שמתחתם אותו מספר מחברים כמו איברים דומים: $\displaystyle {2x+5x}={7x}$ , ובאותו אופן $\displaystyle {2\sqrt{3}+5\sqrt{3}}={7\sqrt{3}}$ .

$\displaystyle {6\sqrt{5}-\sqrt{5}}={5\sqrt{5}}$
שורשים שונים נשארים כמו שהם: $\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{5}$ .
לפעמים פישוט הופך אותם לדומים: $\displaystyle {\sqrt{12}+\sqrt{27}}={2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}={5\sqrt{3}}$ .

תרגיל 3

פשטו.

תרגיל 4

אורך הצלע של ריבוע הוא 5 ס"מ.
מצאו את אורך האלכסון שלו בעזרת משפט פיתגורס, וכתבו אותו כשורש מפושט.
שטחו של ריבוע אחר הוא 48 סמ"ר.
מצאו את אורך הצלע שלו, וכתבו אותו כשורש מפושט.

אורך האלכסון

אורך הצלע של הריבוע השני

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$