הצגת מכפלה והצגה סטנדרטית

אפשר לכתוב פונקציה ריבועית בשלוש הצגות, וכל אחת מהן מראה מיד תכונות אחרות:

הצגת הקודקוד $\displaystyle {y}={a(x-b)^{2}+k}$ – את הקודקוד;
הצגת המכפלה $\displaystyle {y}={a(x-x_1)(x-x_2)}$ – את נקודות החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ;
ההצגה הסטנדרטית $\displaystyle {y}={ax^{2}+bx+c}$ – את נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ .

הצגת מכפלה

ב-

\displaystyle {y}={(x+3)(x-1)}

נקודות החיתוך הן ב-

\displaystyle -3

וב-

\displaystyle 1

: הסימן מתהפך.

ב- $\displaystyle {y}={a(x-x_1)(x-x_2)}$ :

נקודות החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ הן ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$ : מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שלה שווה לאפס;
הקודקוד נמצא על ציר הסימטריה, באמצע ביניהן: שיעור ה- $\displaystyle x$ שלו הוא $\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$ .

למשל $\displaystyle {y}={(x-1)(x-5)}$ :

ציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle A(1,0)$ , $\displaystyle B(5,0)$ ;
הקודקוד: $\displaystyle {x}={\frac{1+5}{2}}={3}$ , $\displaystyle {y}={(3-1)(3-5)}={-4}$ – $\displaystyle V(3,-4)$ , נקודת מינימום;
ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {y}={(0-1)(0-5)}={5}$ – $\displaystyle C(0,5)$ .

\displaystyle y=(x-1)(x-5)

\displaystyle A=(1,0)

\displaystyle B=(5,0)

\displaystyle V=(3,-4)

\displaystyle C=(0,5)

הצגת מכפלה כאשר

\displaystyle a<0

$\displaystyle {y}={-(x+3)(x-1)}$ : כאן $\displaystyle {a}={-1}$ , ולכן הקודקוד הוא נקודת מקסימום.

ציר ה- $\displaystyle x$ : $\displaystyle A(-3,0)$ , $\displaystyle B(1,0)$ .
הקודקוד: $\displaystyle {x}={\frac{-3+1}{2}}={-1}$ , $\displaystyle {y}={-(-1+3)(-1-1)}={4}$ – $\displaystyle V(-1,4)$ .
ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle {y}={-(0+3)(0-1)}={3}$ – $\displaystyle C(0,3)$ .

\displaystyle y=-(x+3)(x-1)

\displaystyle A=(-3,0)

\displaystyle B=(1,0)

\displaystyle V=(-1,4)

\displaystyle C=(0,3)

הצגה סטנדרטית

כאן

\displaystyle b

הוא המקדם של

\displaystyle x

– לא ההזזה

\displaystyle b

של הצגת הקודקוד.

ב- $\displaystyle {y}={ax^{2}+bx+c}$ ( $\displaystyle a\neq0$ ):

נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ היא $\displaystyle (0,c)$ : כאשר $\displaystyle {x}={0}$ נשאר רק $\displaystyle c$ ;
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד:
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{2a}$ $\displaystyle a\neq0$

הקודקוד בא מהצגת המכפלה. פתיחת הסוגריים שלה נותנת $\displaystyle {a(x-x_1)(x-x_2)}={ax^{2}-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2}$ , ולכן $\displaystyle {b}={-a(x_1+x_2)}$ , ושיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, $\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$ , הוא $\displaystyle -\frac{b}{2a}$ . הכלל נכון לכל פרבולה, גם לכזו שאינה פוגשת את ציר ה- $\displaystyle x$ .

מהצגת מכפלה להצגה סטנדרטית

חוק הפילוג המורחב פותח את הצגת המכפלה: $\displaystyle {(x-1)(x-5)}={x^{2}-6x+5}$ . בהצגה הסטנדרטית רואים באותה פרבולה את $\displaystyle {c}={5}$ – הנקודה $\displaystyle (0,5)$ – ואת שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, $\displaystyle {-\frac{-6}{2\cdot1}}={3}$ , כמו שמצאנו קודם.

סקיצה מההצגה הסטנדרטית

כשאפשר לפרק את הטרינום, הפירוק נותן את הצגת המכפלה:

\displaystyle {x^{2}+2x-3}={(x+3)(x-1)}

$\displaystyle {y}={x^{2}-4x+1}$ , בארבעה צעדים:

$\displaystyle {a}={1>0}$ : הקודקוד הוא נקודת מינימום.
הקודקוד: $\displaystyle {x}={-\frac{-4}{2\cdot1}}={2}$ , $\displaystyle {y}={2^{2}-4\cdot2+1}={-3}$ – $\displaystyle V(2,-3)$ .
ציר ה- $\displaystyle y$ : $\displaystyle C(0,1)$ .
הנקודה הסימטרית ל- $\displaystyle C$ ביחס לציר $\displaystyle {x}={2}$ : $\displaystyle D(4,1)$ .

\displaystyle y=x^{2}-4x+1

\displaystyle V=(2,-3)

\displaystyle C=(0,1)

\displaystyle D=(4,1)

נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- $\displaystyle x$ אינן מספרים שלמים, ולכן פירוק במספרים שלמים לא מוצא אותן.

תרגיל 1

מצאו לכל פרבולה את נקודות החיתוך עם הצירים ואת הקודקוד.
אחר כך פתחו סוגריים, וקבלו את ההצגה הסטנדרטית.

$\displaystyle {y}={(x-2)(x-6)}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle {y}={-(x-1)(x+3)}$

$\displaystyle {y}={2x(x-4)}$

תרגיל 2

מצאו לכל פרבולה את הקודקוד ואת נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$ .
פרקו לגורמים את הביטוי שלה, ומצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ .

$\displaystyle {y}={x^{2}-6x+8}$

$\displaystyle {y}={-x^{2}+4x+5}$

$\displaystyle {y}={2x^{2}-12x+10}$

תרגיל 3

הפרבולה היא $\displaystyle {y}={x^{2}+2x+4}$ .
מצאו את הקודקוד שלה.
האם היא פוגשת את ציר ה- $\displaystyle x$ ?
הסבירו.

תרגיל 4

פרבולה חותכת את ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle (-2,0)$ וב- $\displaystyle (4,0)$ , ואת ציר ה- $\displaystyle y$ ב- $\displaystyle (0,-8)$ .
כתבו את המשוואה שלה בהצגת מכפלה, ופתחו אותה להצגה סטנדרטית.

\displaystyle (-2,0)

\displaystyle (4,0)

\displaystyle (0,-8)

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$