תכונות של פונקציה

פונקציה נותנת לכל $\displaystyle x$ ערך $\displaystyle y$ אחד, והגרף שלה מראה את התכונות שלה במבט אחד. את התכונות האלה קוראים מהגרף:

נקודות החיתוך עם הצירים;
תחום החיוביות ותחום השליליות;
נקודות הקיצון – מקסימום ומינימום;
תחומי העלייה והירידה.

הגרף של

\displaystyle f

הגרף של הפונקציה $\displaystyle f$ בנוי מקטעים ישרים בין הנקודות $\displaystyle (-5,-4)$ , $\displaystyle (-3,4)$ , $\displaystyle (0,-2)$ , $\displaystyle (2,2)$ ו- $\displaystyle (5,-4)$ .
בשני הקצוות הוא ממשיך אל מחוץ לשרטוט, כלפי מטה.

\displaystyle f(x)

\displaystyle (-4,0)

\displaystyle (-1,0)

\displaystyle (1,0)

\displaystyle (3,0)

נקודות החיתוך עם הצירים

פונקציה חותכת את ציר ה-

\displaystyle y

בנקודה אחת לכל היותר: ב-

\displaystyle {x}={0}

יש לה ערך

\displaystyle y

אחד.

עם ציר ה- $\displaystyle x$ : הנקודות שבהן $\displaystyle {y}={0}$ . ל- $\displaystyle f$ : $\displaystyle (-4,0)$ , $\displaystyle (-1,0)$ , $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (3,0)$ .
עם ציר ה- $\displaystyle y$ : הנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$ . ל- $\displaystyle f$ : $\displaystyle (0,-2)$ .

תחום חיוביות ותחום שליליות

תחום הוא קבוצה של ערכי

\displaystyle x

: “חיובית כאשר

\displaystyle -4<x<-1

”, ולא “כאשר

\displaystyle 0<y<4

”.

הפונקציה חיובית היכן שהגרף שלה מעל ציר ה- $\displaystyle x$ , ושלילית היכן שהוא מתחתיו.

תחום חיוביות: $\displaystyle -4<x<-1$ , $\displaystyle 1<x<3$ .
תחום שליליות: $\displaystyle x<-4$ , $\displaystyle -1<x<1$ , $\displaystyle x>3$ .

נקודות קיצון

נקודת קיצון היא פסגה או עמק בגרף. נקודת מקסימום (פסגה) גבוהה מכל נקודות הגרף שלידה; נקודת מינימום (עמק) נמוכה מכל הנקודות שלידה.

נקודות המקסימום של $\displaystyle f$ : $\displaystyle (-3,4)$ , $\displaystyle (2,2)$ .
נקודת המינימום של $\displaystyle f$ : $\displaystyle (0,-2)$ .

נקודת קיצון היא זוג סדור. שיעור ה- $\displaystyle y$ שלה הוא הערך המקסימלי (או המינימלי): בנקודה $\displaystyle (-3,4)$ הערך המקסימלי של $\displaystyle f$ הוא 4, והפונקציה מקבלת אותו ב- $\displaystyle {x}={-3}$ .

קיצון מקומי וקיצון מוחלט

מקסימום מוחלט הוא הנקודה הגבוהה ביותר בכל הגרף; מקסימום מקומי הוא הגבוה ביותר רק בסביבתו. כך גם במינימום.

$\displaystyle (-3,4)$ היא נקודת מקסימום מוחלט של $\displaystyle f$ : אין בגרף נקודה גבוהה ממנה.
$\displaystyle (2,2)$ היא נקודת מקסימום מקומי: הנקודה $\displaystyle (-3,4)$ גבוהה ממנה.
$\displaystyle (0,-2)$ היא נקודת מינימום מקומי. אין ל- $\displaystyle f$ מינימום מוחלט: שני הקצוות שלה יורדים בלי סוף.

נקודות קיצון בגרף מעוגל

בגרף הזה $\displaystyle A(-2,-4)$ היא נקודת מינימום מקומי ו- $\displaystyle B(2,4)$ היא נקודת מקסימום מקומי. אף אחת מהן אינה מוחלטת: משמאל הגרף עולה בלי סוף, ומימין הוא יורד בלי סוף.

\displaystyle y=-\frac{1}{4}x^{3}+3x

\displaystyle A=(-2,-4)

\displaystyle B=(2,4)

יש פונקציות שאין להן נקודת קיצון בכלל: הישר $\displaystyle {y}={2x+1}$ עולה כל הזמן.

תחומי עלייה וירידה

בנקודת קיצון הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, או מירידה לעלייה.

פונקציה עולה היכן שהגרף שלה עולה כש- $\displaystyle x$ גדל (כשהולכים ימינה), ויורדת היכן שהוא יורד. את התחומים כותבים בעזרת $\displaystyle x$ :

$\displaystyle f$ עולה כאשר $\displaystyle x<-3$ וכאשר $\displaystyle 0<x<2$ .
$\displaystyle f$ יורדת כאשר $\displaystyle -3<x<0$ וכאשר $\displaystyle x>2$ .

תרגיל 1

הגרף של הפונקציה $\displaystyle g$ בנוי מקטעים ישרים בין הנקודות $\displaystyle (-4,4)$ , $\displaystyle (-2,-4)$ , $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (3,-2)$ ו- $\displaystyle (5,2)$ ; בשני הקצוות הוא ממשיך כלפי מעלה.
סמנו על הגרף את נקודות החיתוך של $\displaystyle g$ עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה.
כתבו:

את תחום החיוביות ואת תחום השליליות שלה;
לכל נקודת קיצון: מקסימום או מינימום, מקומי או מוחלט;
את תחומי העלייה והירידה שלה;
את הערך המינימלי של $\displaystyle g$ .

\displaystyle g(x)

הערך המינימלי של

\displaystyle g

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

שרטטו סקיצה של גרף של פונקציה שיש לה כל התכונות האלה:

היא חותכת את ציר ה- $\displaystyle x$ רק ב- $\displaystyle (-3,0)$ וב- $\displaystyle (2,0)$ , ואת ציר ה- $\displaystyle y$ ב- $\displaystyle (0,4)$ ;
יש לה נקודת מקסימום $\displaystyle (-1,5)$ , ואין לה נקודת מינימום.

תרגיל 3

פונקציה עולה כאשר $\displaystyle x<0$ וכאשר $\displaystyle x>3$ , ויורדת כאשר $\displaystyle 0<x<3$ .
הערך המקסימלי שלה הוא 2, והערך המינימלי שלה הוא $\displaystyle -4$ .
שרטטו אותה, וכתבו את נקודות הקיצון שלה.

תרגיל 4

ענו והסבירו.

לפונקציה יש נקודת מינימום $\displaystyle (2,-5)$ . מהו הערך המינימלי שלה, ובאיזה $\displaystyle x$ היא מקבלת אותו?
האם ערך מקסימלי מקומי של פונקציה יכול להיות קטן מערך מינימלי מקומי שלה? הראו בסקיצה.
האם הגרף של פונקציה יכול לחתוך את ציר ה- $\displaystyle y$ בשתי נקודות?

הערך המינימלי

\displaystyle x

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$