פתרון משוואה ריבועית בפירוק לגורמים

משוואה שהנעלם מופיע בה בריבוע – כמו $\displaystyle {x^{2}-5x+6}={0}$ – היא משוואה ריבועית (משוואה ממעלה שנייה). בניגוד למשוואה ממעלה ראשונה, כמו $\displaystyle {2x+3}={7}$ , יכולים להיות לה שני פתרונות. דרך אחת לפתור אותה: מפרקים לגורמים, ומשתמשים בעובדה פשוטה אחת על אפס.

מכפלה ששווה לאפס

זה עובד רק עם 0. מ-

\displaystyle {(x-2)(x+7)}={8}

אי אפשר להסיק ש-

\displaystyle {x-2}={8}

אם מכפלה של שני מספרים שווה ל-0, לפחות אחד מהם שווה ל-0: $\displaystyle {a\cdot b}={0}$ פירושו $\displaystyle {a}={0}$ או $\displaystyle {b}={0}$ . לכן במשוואה $\displaystyle {(x-2)(x+7)}={0}$ או ש- $\displaystyle {x-2}={0}$ , ואז $\displaystyle {x}={2}$ , או ש- $\displaystyle {x+7}={0}$ , ואז $\displaystyle {x}={-7}$ .

למשוואה יש שני פתרונות: $\displaystyle {x}={2}$ ו- $\displaystyle {x}={-7}$ . בדיקה: $\displaystyle {(2-2)(2+7)}={0\cdot9}={0}$ , וגם $\displaystyle {(-7-2)(-7+7)}={-9\cdot0}={0}$ .

תרגיל 1

פתרו את המשוואות: השוו כל גורם לאפס.

כמה פתרונות יש למשוואה הזאת?

משוואה עם גורם משותף

אל תחלקו את שני האגפים ב-

\displaystyle x

: כך הולך לאיבוד הפתרון

\displaystyle {x}={0}

כשאגף אחד הוא 0 והאגף השני עדיין אינו מכפלה, קודם מפרקים אותו לגורמים. ב- $\displaystyle {x^{2}-5x}={0}$ הגורם המשותף הוא $\displaystyle x$ :

\begin{aligned}x^{2}-5x&=0\\ x(x-5)&=0\end{aligned}

$\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x-5}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={5}$ .

משוואה עם הפרש ריבועים

ב- $\displaystyle {x^{2}}={9}$ מעבירים את ה-9 לאגף של $\displaystyle x^{2}$ , ומפרקים לפי הנוסחה $\displaystyle {a^{2}-b^{2}}={(a-b)(a+b)}$ :

\begin{aligned}x^{2}-9&=0\\ (x-3)(x+3)&=0\end{aligned}

$\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-3}$ – שני מספרים שהריבוע שלהם הוא 9. ולמשוואה $\displaystyle {x^{2}}={-4}$ אין פתרון בכלל: ריבוע של מספר אף פעם אינו שלילי.

משוואה עם טרינום

ב- $\displaystyle {x^{2}-5x+6}={0}$ מחפשים שני מספרים שסכומם $\displaystyle -5$ ומכפלתם $\displaystyle 6$ : $\displaystyle -2$ ו- $\displaystyle -3$ .

\begin{aligned}x^{2}-5x+6&=0\\ (x-2)(x-3)&=0\end{aligned}

$\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={3}$ . בדיקה של $\displaystyle {x}={2}$ : $\displaystyle {2^{2}-5\cdot2+6}={4-10+6}={0}$ – נכון.

העברת כל האיברים לאגף אחד

העובדה על האפס עוזרת רק כשאחד האגפים הוא 0. לכן קודם מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, ורק אחר כך מפרקים לגורמים:

\begin{aligned}x^{2}&=3x+10 &&/-3x-10\\ x^{2}-3x-10&=0\\ (x-5)(x+2)&=0\end{aligned}

$\displaystyle {x}={5}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ .

פתרון בפירוק לגורמים: השלבים

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, כך שבאגף השני יהיה 0.
מפרקים לגורמים (גורם משותף, טרינום, נוסחה).
משווים כל גורם לאפס ופותרים.
בודקים בהצבה במשוואה המקורית.

למשוואה ריבועית יש לכל היותר שני פתרונות; לפעמים פתרון אחד, ולפעמים אין לה פתרון.

תרגיל 2

פרקו לגורמים את האגף הראשון, ואז פתרו.

תרגיל 3

קודם העבירו את כל האיברים לאגף אחד.
אחר כך פרקו לגורמים ופתרו.

תרגיל 4

כופלים מספר במספר שגדול ממנו ב-3, והמכפלה היא 40.
כתבו משוואה, פתרו אותה ומצאו את כל המספרים המתאימים.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$