נוסחת השורשים

נוסחה אחת פותרת כל משוואה ריבועית: נוסחת השורשים. פירוק לגורמים, או הוצאת שורש (כמו ב- $\displaystyle {x^{2}}={9}$ או ב- $\displaystyle {(x-1)^{2}}={4}$ ), מהירים יותר כשהם מתאימים. אבל הרבה טרינומים אי אפשר לפרק במספרים שלמים: במשוואה $\displaystyle {x^{2}+2x-4}={0}$ אין שני מספרים שלמים שמכפלתם $\displaystyle -4$ וסכומם $\displaystyle 2$ .

נוסחת השורשים

קודם מביאים את המשוואה לצורה

\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}

– הכול באגף אחד, ו-0 באגף השני.

הפתרונות של המשוואה $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ (כאשר $\displaystyle a\neq0$ ) הם

\displaystyle x_{1,2}

\displaystyle =

\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

\displaystyle a\neq0

הסימן $\displaystyle \pm$ פירושו שני חישובים: פעם עם $\displaystyle +$ ופעם עם $\displaystyle -$ . לפני שמציבים, רושמים את $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ ו- $\displaystyle c$ – כל אחד עם הסימן שלו.

דוגמה: ריבוע שלם מתחת לשורש

את

\displaystyle b

מציבים עם הסימן שלו: כאן

\displaystyle {b}={-5}

, ולכן

\displaystyle {-b}={5}

ו-

\displaystyle {b^{2}}={(-5)^{2}}={25}

, ולא

\displaystyle -25

$\displaystyle {2x^{2}-5x-3}={0}$ : $\displaystyle {a}={2}$ , $\displaystyle {b}={-5}$ , $\displaystyle {c}={-3}$ .

x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm7}{4}

$\displaystyle {x_{1}}={\frac{5+7}{4}}={3}$ , $\displaystyle {x_{2}}={\frac{5-7}{4}}={-\frac{1}{2}}$ . בדיקה: $\displaystyle {2\cdot3^{2}-5\cdot3-3}={18-15-3}={0}$ .

דוגמה: שורש שצריך לפשט

\displaystyle 2a

מחלק את כל המונה – גם את

\displaystyle -b

וגם את השורש.

$\displaystyle {x^{2}+2x-4}={0}$ : $\displaystyle {a}={1}$ , $\displaystyle {b}={2}$ , $\displaystyle {c}={-4}$ .

x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}

הפתרונות הם $\displaystyle {x_{1}}={-1+\sqrt{5}}$ ו- $\displaystyle {x_{2}}={-1-\sqrt{5}}$ . פישטנו $\displaystyle {\sqrt{20}}={\sqrt{4\cdot5}}={2\sqrt{5}}$ , וחילקנו ב-2 את שני האיברים שבמונה.

תרגיל 1

פתרו בעזרת נוסחת השורשים.

מספר הפתרונות

אין שורש למספר שלילי.

מספר הפתרונות תלוי בביטוי שמתחת לשורש, $\displaystyle b^{2}-4ac$ :

חיובי – שני פתרונות ( $\displaystyle -b$ ועוד השורש, ו- $\displaystyle -b$ פחות השורש);
אפס – פתרון אחד, $\displaystyle {x}={\frac{-b}{2a}}$ : במשוואה $\displaystyle {x^{2}-6x+9}={0}$ יוצא $\displaystyle {36-36}={0}$ , ו- $\displaystyle {x}={\frac{6}{2}}={3}$ ;
שלילי – אין פתרון: במשוואה $\displaystyle {x^{2}+x+5}={0}$ יוצא $\displaystyle {1-20}={-19}$ .

בגרף של $\displaystyle {y}={ax^{2}+bx+c}$ הפתרונות הם המקומות שבהם הוא פוגש את ציר ה- $\displaystyle x$ . כאן $\displaystyle {y}={x^{2}-4x+3}$ (מתחת לשורש $\displaystyle {16-12}={4}$ ) פוגש אותו פעמיים, ב-1 וב-3, ו- $\displaystyle {y}={x^{2}-4x+5}$ (המקווקו; מתחת לשורש $\displaystyle {16-20}={-4}$ ) לא פוגש אותו כלל. כשמתחת לשורש יוצא אפס, הקודקוד נמצא על ציר ה- $\displaystyle x$ .

\displaystyle y=x^{2}-4x+3

\displaystyle y=x^{2}-4x+5

\displaystyle (1,0)

\displaystyle (3,0)

תרגיל 2

בלי לפתור: חשבו את $\displaystyle b^{2}-4ac$ , וכתבו כמה פתרונות יש למשוואה.

$\displaystyle {x^{2}+4x+5}={0}$

\displaystyle b^{2}-4ac

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מספר הפתרונות

$\displaystyle {9x^{2}-12x+4}={0}$

\displaystyle b^{2}-4ac

מספר הפתרונות

$\displaystyle {2x^{2}-x-3}={0}$

\displaystyle b^{2}-4ac

מספר הפתרונות

בחירת הדרך הקצרה

הנוסחה עובדת תמיד, אבל היא לא תמיד הדרך הקצרה. קודם מסתכלים על המשוואה:

אין איבר עם $\displaystyle x$ : $\displaystyle {x^{2}}={16}$ – מוציאים שורש: $\displaystyle {x}={4}$ או $\displaystyle {x}={-4}$ ;
אין איבר חופשי: $\displaystyle {x^{2}-6x}={0}$ – מוציאים גורם משותף: $\displaystyle {x(x-6)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={6}$ ;
טרינום שמתפרק בקלות: $\displaystyle {x^{2}-5x+6}={0}$ – $\displaystyle {(x-2)(x-3)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={3}$ ;
אחרת – הנוסחה: במשוואה $\displaystyle {2x^{2}-3x-4}={0}$ יוצא $\displaystyle {x_{1,2}}={\frac{3\pm\sqrt{9+32}}{4}}={\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}}$ .

תרגיל 3

פתרו כל משוואה בדרך הקצרה ביותר בשבילה, וכתבו באיזו דרך בחרתם.

תרגיל 4

פתרו את המשוואה $\displaystyle {2x(x-1)}={x+5}$ .
העבירו הכול לאגף אחד: פשטו את $\displaystyle 2x(x-1)-(x+5)$ .
פתרו, ובדקו פתרון אחד בהצבה.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$