אי־שוויונות ריבועיים

אי־שוויון ריבועי שואל איפה פונקציה חיובית ואיפה היא שלילית. $\displaystyle x^{2}-4>0$ שואל: לאילו ערכי $\displaystyle x$ הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^{2}-4}$ חיובית – איפה הגרף שלה נמצא מעל ציר ה- $\displaystyle x$ ? את תחום החיוביות ואת תחום השליליות כבר יודעים לקרוא מגרף; כאן נמצא אותם בחישוב ובסקיצה.

אי־שוויונות על הגרף

הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^{2}-4}$ חותך את ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle -2$ וב- $\displaystyle 2$ – השורשים שלה, ערכי ה- $\displaystyle x$ שבהם $\displaystyle {f(x)}={0}$ .

$\displaystyle x^{2}-4<0$ – הגרף מתחת לציר: $\displaystyle -2<x<2$ .
$\displaystyle x^{2}-4>0$ – הגרף מעל הציר: $\displaystyle x<-2$ או $\displaystyle x>2$ .
$\displaystyle x^{2}-4\geq0$ – מעל הציר או עליו: $\displaystyle x\leq-2$ או $\displaystyle x\geq2$ (השורשים כלולים).

\displaystyle f(x)=x^{2}-4

\displaystyle (-2,0)

\displaystyle (2,0)

שלבי הפתרון של אי־שוויון

בין השורשים – תחום אחד:

\displaystyle -2<x<2

. מחוץ להם – שני חלקים, ומחברים אותם ב"או":

\displaystyle x<-2

או

\displaystyle x>2

מעבירים הכול לאגף אחד, כך שבאגף השני יהיה 0.
מוצאים את השורשים: פותרים את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={0}$ .
משרטטים סקיצה של הפרבולה דרך השורשים: $\displaystyle a>0$ – היא פתוחה כלפי מעלה, $\displaystyle a<0$ – כלפי מטה.
קוראים את התשובה: $\displaystyle >0$ – איפה שהגרף מעל הציר, $\displaystyle <0$ – איפה שהוא מתחתיו.

דוגמה: פרבולה פתוחה כלפי מעלה

$\displaystyle x^{2}-5x+6\geq0$ .
השורשים: $\displaystyle {(x-2)(x-3)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={3}$ . כאן $\displaystyle {a}={1>0}$ , ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מעלה: בין השורשים היא מתחת לציר, ומחוץ להם – מעליו. התשובה: $\displaystyle x\leq2$ או $\displaystyle x\geq3$ .

\displaystyle y=x^{2}-5x+6

\displaystyle (2,0)

\displaystyle (3,0)

דוגמה: פרבולה פתוחה כלפי מטה

$\displaystyle -x^{2}+2x+3>0$ .
השורשים: את $\displaystyle {-x^{2}+2x+3}={0}$ כופלים ב- $\displaystyle -1$ : $\displaystyle {x^{2}-2x-3}={0}$ , $\displaystyle {(x-3)(x+1)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-1}$ . כאן $\displaystyle {a}={-1<0}$ , ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה: היא מעל הציר בין השורשים. התשובה: $\displaystyle -1<x<3$ .

\displaystyle y=-x^{2}+2x+3

\displaystyle (-1,0)

\displaystyle (3,0)

אי־השוויון

\displaystyle x^{2}<4

תמיד משרטטים סקיצה – היא מראה את התשובה.

מ- $\displaystyle x^{2}<4$ קל לכתוב “ $\displaystyle x<2$ ”. אבל $\displaystyle {x}={-5}$ מקיים $\displaystyle x<2$ , ו- $\displaystyle {(-5)^{2}}={25}$ אינו קטן מ-4. התשובה הנכונה באה מהגרף: $\displaystyle -2<x<2$ .

תרגיל 1

לפניכם הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^{2}+2x-3}$ .
מצאו את השורשים שלה בפירוק לגורמים, וסמנו אותם על הגרף.
כתבו לאילו ערכי $\displaystyle x$ :
א. $\displaystyle f(x)<0$
ב. $\displaystyle f(x)\geq0$

\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3

תרגיל 2

פתרו את אי־השוויונות: מצאו את השורשים, שרטטו סקיצה של הפרבולה, וקראו את התשובה.

אי־שוויון עם איברים בשני האגפים

כשיש איברים בשני האגפים, קודם מעבירים הכול לאגף אחד: $\displaystyle x^{2}>x+2$ הופך ל- $\displaystyle x^{2}-x-2>0$ , כלומר $\displaystyle (x-2)(x+1)>0$ . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן התשובה מחוץ לשורשים: $\displaystyle x<-1$ או $\displaystyle x>2$ .

תרגיל 3

פתרו.
קודם העבירו הכול לאגף אחד.

פרבולה עם שורש אחד או בלי שורשים

פרבולה שאינה חותכת את ציר ה- $\displaystyle x$ נמצאת כולה בצד אחד שלו.

ל- $\displaystyle {f(x)}={x^{2}+2}$ אין שורשים, והיא פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא תמיד מעל הציר: $\displaystyle x^{2}+2>0$ מתקיים לכל $\displaystyle x$ , ול- $\displaystyle x^{2}+2<0$ אין פתרון.
$\displaystyle {f(x)}={x^{2}-4x+4}={(x-2)^{2}}$ נוגעת בציר רק בקודקוד שלה, $\displaystyle {x}={2}$ : $\displaystyle (x-2)^{2}>0$ מתקיים לכל $\displaystyle x$ חוץ מ-2.

תרגיל 4

פתרו, והסבירו בעזרת סקיצה.
א. $\displaystyle x^{2}+5>0$
ב. $\displaystyle x^{2}+5<0$
ג. $\displaystyle (x-1)^{2}\leq0$
ד. $\displaystyle -x^{2}-1<0$

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$