משוואות עם נעלם במכנה

במשוואה כמו $\displaystyle {\frac{12}{x}}={4}$ הנעלם נמצא במכנה. כדי לפתור אותה, נפטרים מהמכנים: כופלים בהם את שני האגפים. לפני כן מוצאים את תחום ההצבה, כי מספר שמאפס מכנה לא יכול להיות פתרון.

משוואה עם נעלם במכנה: השלבים

מפרקים את המכנים לגורמים.
מוצאים את תחום ההצבה: המספרים שמאפסים מכנה יוצאים ממנו.
כופלים את שני האגפים במכנה המשותף – השברים נעלמים.
פותרים את המשוואה שנשארה.
בודקים כל פתרון מול תחום ההצבה: פתרון שמחוץ לתחום נפסל.

משוואה עם שבר אחד

$\displaystyle {\frac{x+2}{x-1}}={4}$ .
תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq1$ . כופלים את שני האגפים ב- $\displaystyle x-1$ :

\begin{aligned}\frac{x+2}{x-1}&=4 &&/\cdot(x-1)\\ x+2&=4x-4 &&/-x+4\\ 6&=3x &&/:3\\ x&=2\end{aligned}

$\displaystyle 2$ נמצא בתחום ההצבה, ולכן הפתרון הוא $\displaystyle {x}={2}$ . בדיקה: $\displaystyle {\frac{2+2}{2-1}}={4}$ – נכון.

פתרון שנפסל

הכפל ב-

\displaystyle x(x-2)

– ששווה 0 כש-

\displaystyle {x}={0}

וכש-

\displaystyle {x}={2}

– יכול להוסיף פתרון שאין למשוואה המקורית. לכן בודקים כל פתרון מול תחום ההצבה.

$\displaystyle {\frac{x+1}{x-2}}={\frac{6}{x^{2}-2x}}$ .
מפרקים את המכנה: $\displaystyle {x^{2}-2x}={x(x-2)}$ . תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq0$ , $\displaystyle x\neq2$ . המכנה המשותף הוא $\displaystyle x(x-2)$ :

\begin{aligned}\frac{x+1}{x-2}&=\frac{6}{x(x-2)} &&/\cdot x(x-2)\\ x(x+1)&=6\\ x^{2}+x-6&=0\\ (x+3)(x-2)&=0\end{aligned}

$\displaystyle {x}={-3}$ או $\displaystyle {x}={2}$ . אבל $\displaystyle 2$ מחוץ לתחום ההצבה – כש- $\displaystyle {x}={2}$ שני המכנים מתאפסים – ולכן הוא נפסל. למשוואה יש פתרון אחד: $\displaystyle {x}={-3}$ .

תרגיל 1

פתרו.
כתבו את תחום ההצבה, ובדקו מולו כל פתרון.

תרגיל 2

כאן המשוואה שנשארת אחרי הכפל היא ריבועית: פתרו אותה בפירוק לגורמים.

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$