הזזת הפרבולה

הזזה של הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^{2}}$ נותנת את הפרבולות $\displaystyle {y}={a(x-b)^{2}+k}$. ההזזות הן כמו בגרף של כל פונקציה:

• הוספת $\displaystyle k$ מזיזה את הפרבולה למעלה או למטה;
• $\displaystyle x-b$ במקום $\displaystyle x$ מזיז אותה ימינה או שמאלה.

הפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}-4}$ (המקווקוות) היא $\displaystyle {y}={x^{2}}$ מוזזת 4 למטה. הקודקוד שלה הוא $\displaystyle (0,-4)$.

נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$\displaystyle x$ הן היכן ש-$\displaystyle {y}={0}$: $\displaystyle {x^{2}-4}={0}$, ולכן $\displaystyle {x^{2}}={4}$, ו-$\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ – הנקודות $\displaystyle A(-2,0)$ ו-$\displaystyle B(2,0)$.

הפרבולה $\displaystyle {y}={(x-3)^{2}}$ (המקווקוות) היא $\displaystyle {y}={x^{2}}$ מוזזת 3 ימינה. הקודקוד שלה הוא $\displaystyle (3,0)$, וציר הסימטריה שלה הוא הישר $\displaystyle {x}={3}$.

הפרבולה $\displaystyle {y}={a(x-b)^{2}+k}$ היא $\displaystyle {y}={ax^{2}}$ מוזזת $\displaystyle b$ ימינה ו-$\displaystyle k$ למעלה.

• הקודקוד שלה הוא $\displaystyle (b,k)$, וציר הסימטריה שלה הוא הישר $\displaystyle {x}={b}$.
• $\displaystyle a>0$: הקודקוד הוא נקודת מינימום; $\displaystyle a<0$: נקודת מקסימום.

למשל $\displaystyle {y}={(x-1)^{2}-4}$: הקודקוד $\displaystyle (1,-4)$, מינימום. $\displaystyle {y}={-(x+2)^{2}+1}$: הקודקוד $\displaystyle (-2,1)$, מקסימום.

• הקודקוד $\displaystyle V(1,-4)$, נקודת מינימום; הערך המינימלי הוא $\displaystyle -4$.
• יורדת כאשר $\displaystyle x<1$, עולה כאשר $\displaystyle x>1$.
• ציר ה-$\displaystyle y$, $\displaystyle {x}={0}$: $\displaystyle {y}={(0-1)^{2}-4}={-3}$ – הנקודה $\displaystyle C(0,-3)$.
• ציר ה-$\displaystyle x$, $\displaystyle {y}={0}$: $\displaystyle {(x-1)^{2}-4}={0}$, ולכן $\displaystyle {(x-1)^{2}}={4}$; $\displaystyle {x-1}={2}$ או $\displaystyle {x-1}={-2}$; $\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-1}$ – הנקודות $\displaystyle A(-1,0)$ ו-$\displaystyle B(3,0)$.
• חיובית כאשר $\displaystyle x<-1$ וכאשר $\displaystyle x>3$; שלילית כאשר $\displaystyle -1<x<3$.

• הקודקוד $\displaystyle V(-2,1)$, נקודת מקסימום; הערך המקסימלי הוא 1.
• עולה כאשר $\displaystyle x<-2$, יורדת כאשר $\displaystyle x>-2$.
• ציר ה-$\displaystyle y$: $\displaystyle {y}={-(0+2)^{2}+1}={-3}$ – הנקודה $\displaystyle C(0,-3)$.
• ציר ה-$\displaystyle x$: $\displaystyle {(x+2)^{2}}={1}$; $\displaystyle {x+2}={1}$ או $\displaystyle {x+2}={-1}$; $\displaystyle {x}={-1}$ או $\displaystyle {x}={-3}$ – הנקודות $\displaystyle A(-3,0)$, $\displaystyle B(-1,0)$.
• חיובית כאשר $\displaystyle -3<x<-1$; שלילית כאשר $\displaystyle x<-3$ וכאשר $\displaystyle x>-1$.

נקודת המינימום של הפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}+2}$ היא $\displaystyle (0,2)$, מעל ציר ה-$\displaystyle x$, ולכן הפרבולה לא פוגשת את ציר ה-$\displaystyle x$: למשוואה $\displaystyle {x^{2}+2}={0}$, כלומר $\displaystyle {x^{2}}={-2}$, אין פתרון. כך גם בפרבולה שנקודת המקסימום שלה מתחת לציר ה-$\displaystyle x$.

כתבו לכל פרבולה: את הקודקוד – מינימום או מקסימום, את ציר הסימטריה, את תחומי העלייה והירידה, את נקודות החיתוך עם הצירים, את תחום החיוביות ואת תחום השליליות.

$\displaystyle {y}={(x-2)^{2}-9}$

$\displaystyle {y}={-(x+1)^{2}+4}$

$\displaystyle {y}={2(x-3)^{2}}$

$\displaystyle {y}={-x^{2}-5}$

כתבו משוואה של פרבולה שהקודקוד שלה, $\displaystyle (4,-1)$, הוא נקודת מינימום.

כתבו את המשוואה של כל פרבולה:

• $\displaystyle {y}={x^{2}}$ מוזזת 5 שמאלה ו-2 למעלה;
• $\displaystyle {y}={-x^{2}}$ מוזזת 3 ימינה.

מהי נקודת המקסימום של הפרבולה השנייה?