דלג לתוכן

נוסחאות הכפל המקוצר

אלגברה, כיתה ט' שיעור 5 מתוך 26לימוד

נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש מכפלות שחוזרות כל כך הרבה, שכדאי לדעת אותן בעל פה:

ריבוע של סכום:

(a+b)2\displaystyle (a+b)^2 =\displaystyle = a2+2ab+b2\displaystyle a^2+2ab+b^2

ריבוע של הפרש:

(a−b)2\displaystyle (a-b)^2 =\displaystyle = a2−2ab+b2\displaystyle a^2-2ab+b^2

הפרש ריבועים:

(a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b) =\displaystyle = a2−b2\displaystyle a^2-b^2

כל אחת מהן נובעת מחוק הפילוג המורחב.

ריבוע של סכום

ריבוע של סכום הוא הריבוע של האיבר הראשון, ועוד פעמיים המכפלה שלהם, ועוד הריבוע של האיבר השני:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2
  • (x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9\displaystyle {(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot3+3^2}={x^2+6x+9}
  • (2y+5)2=4y2+20y+25\displaystyle {(2y+5)^2}={4y^2+20y+25}
ריבוע של סכום בשטחים
(a+b)2\displaystyle (a+b)^2 אינו a2+b2\displaystyle a^2+b^2: (3+4)2=49\displaystyle {(3+4)^2}={49}, אבל 32+42=25\displaystyle {3^2+4^2}={25}. החלק החסר הוא 2ab\displaystyle 2ab – שני המלבנים.

ריבוע שהצלע שלו a+b\displaystyle a+b מחולק לארבעה חלקים: ריבוע a2\displaystyle a^2, ריבוע b2\displaystyle b^2 ושני מלבנים ab\displaystyle ab. ababa2ababb2 לכן (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle {(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}.

ריבוע של הפרש
האיבר האחרון תמיד חיובי: (−b)2=+b2\displaystyle {(-b)^2}={+b^2}.

ריבוע של הפרש הוא אותו דבר, עם מינוס לפני האיבר האמצעי:

(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2
  • (x−5)2=x2−10x+25\displaystyle {(x-5)^2}={x^2-10x+25}
  • (3a−1)2=9a2−6a+1\displaystyle {(3a-1)^2}={9a^2-6a+1}
תרגיל 1

פתחו סוגריים בעזרת הנוסחאות.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            הפרש ריבועים

            המכפלה של סכום והפרש של אותם שני איברים היא הפרש הריבועים שלהם – האיברים האמצעיים מתבטלים:

            (a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2
            • (x+7)(x−7)=x2−49\displaystyle {(x+7)(x-7)}={x^2-49}
            • (3x−2)(3x+2)=9x2−4\displaystyle {(3x-2)(3x+2)}={9x^2-4}
            תרגיל 2

            פתחו סוגריים בעזרת הנוסחה.

            א

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    חישוב בעל פה

                    הנוסחאות הופכות מכפלות קשות לקלות: כותבים את המספרים בעזרת מספר עגול קרוב.

                    • 512=(50+1)2=2500+100+1=2601\displaystyle {51^2}={(50+1)^2}={2500+100+1}={2601}
                    • 982=(100−2)2=10000−400+4=9604\displaystyle {98^2}={(100-2)^2}={10000-400+4}={9604}
                    • 49⋅51=(50−1)(50+1)=2500−1=2499\displaystyle {49\cdot51}={(50-1)(50+1)}={2500-1}={2499}
                    תרגיל 3

                    חשבו בלי מחשבון, בעזרת נוסחה.
                    התחילו בכתיבת המספרים בעזרת מספר עגול קרוב.

                    א

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ג

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ד

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            פישוט בעזרת הנוסחאות
                            מינוס לפני ריבוע: משאירים את התוצאה בסוגריים עד שהופכים את הסימנים.

                            פותחים כל ריבוע וכל מכפלה בעזרת הנוסחה שלהם, ואחר כך מכנסים איברים דומים:

                            (x+3)2−(x−3)2=x2+6x+9−(x2−6x+9)=x2+6x+9−x2+6x−9=12x(x+3)^2-(x-3)^2=x^2+6x+9-(x^2-6x+9)=x^2+6x+9-x^2+6x-9=12x
                            תרגיל 4

                            פשטו.

                            א

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              ב

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                ג

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  ד

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    תרגיל 5

                                    רון כתב: (x+6)2=x2+36\displaystyle {(x+6)^2}={x^2+36}.
                                    הציבו x=1\displaystyle {x}={1} בשני האגפים כדי להראות שהוא טעה.
                                    אילו חלקים של הריבוע שבציור הוא השמיט?
                                    פתחו את הסוגריים נכון.

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      תרגיל 6

                                      מה חסר במשבצות?
                                      (x+□)2=x2+□+49\displaystyle {(x+\square)^2}={x^2+\square+49}, (□−5)2=□−30y+25\displaystyle {\quad(\square-5)^2}={\square-30y+25}, (□+□)(□−□)=x2−64\displaystyle {\quad(\square+\square)(\square-\square)}={x^2-64}.