מערכות משוואות ממעלה שנייה

מערכת משוואות היא שתי משוואות עם שני נעלמים, $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$, שצריכות להתקיים יחד. פתרון של המערכת הוא זוג $\displaystyle (x,y)$ שמקיים את שתי המשוואות. כשבאחת המשוואות יש $\displaystyle x^{2}$, זו מערכת ממעלה שנייה:

כל משוואה היא גרף: $\displaystyle {y}={x^{2}-1}$ היא פרבולה, ו-$\displaystyle {y}={x+1}$ (המקווקו) הוא ישר. זוג שמקיים את שתי המשוואות הוא נקודה ששייכת לשני הגרפים – נקודת חיתוך. כאן הם נחתכים ב-$\displaystyle (-1,0)$ וב-$\displaystyle (2,3)$.

בנקודת חיתוך יש לשני הגרפים אותו $\displaystyle y$, ולכן שני הביטויים של $\displaystyle y$ שווים:

$\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-1}$. את ה-$\displaystyle y$ של כל אחד מוצאים מהמשוואה הפשוטה, $\displaystyle {y}={x+1}$: כש-$\displaystyle {x}={2}$, $\displaystyle {y}={3}$; כש-$\displaystyle {x}={-1}$, $\displaystyle {y}={0}$. הפתרונות: $\displaystyle (2,3)$ ו-$\displaystyle (-1,0)$. בדיקה במשוואה השנייה: $\displaystyle {2^{2}-1}={3}$, $\displaystyle {(-1)^{2}-1}={0}$.

קודם מבודדים את $\displaystyle y$ במשוואת הישר. במערכת $\displaystyle {x+y}={5}$, $\displaystyle {y}={x^{2}-1}$: $\displaystyle {y}={5-x}$, ולכן $\displaystyle {x^{2}-1}={5-x}$, $\displaystyle {x^{2}+x-6}={0}$, $\displaystyle {(x+3)(x-2)}={0}$. כש-$\displaystyle {x}={2}$, $\displaystyle {y}={3}$; כש-$\displaystyle {x}={-3}$, $\displaystyle {y}={8}$. הפתרונות: $\displaystyle (2,3)$ ו-$\displaystyle (-3,8)$.

לפניכם הגרפים של $\displaystyle {y}={x^{2}-2x-3}$ ושל $\displaystyle {y}={x-3}$ (המקווקו).
סמנו על הגרף את נקודות החיתוך.
פתרו את המערכת בדרך אלגברית, והשוו לנקודות שסימנתם.

פרבולה וישר נחתכים בשתי נקודות, בנקודה אחת או בכלל לא – כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית שמתקבלת.

• $\displaystyle {y}={x^{2}}$ ו-$\displaystyle {y}={2x-1}$ (המקווקו): $\displaystyle {x^{2}-2x+1}={0}$, $\displaystyle {(x-1)^{2}}={0}$ – פתרון אחד, $\displaystyle {x}={1}$. הישר משיק לפרבולה בנקודה $\displaystyle (1,1)$.
• $\displaystyle {y}={x^{2}}$ ו-$\displaystyle {y}={x-2}$: $\displaystyle {x^{2}-x+2}={0}$ – מתחת לשורש $\displaystyle {1-8}={-7}$, אין פתרון. הישר עובר מתחת לפרבולה.

שתי פרבולות פותרים באותה דרך – משווים את שני הביטויים של $\displaystyle y$. עבור $\displaystyle {y}={x^{2}-4}$ ו-$\displaystyle {y}={-x^{2}+2x}$ (המקווקו): $\displaystyle {x^{2}-4}={-x^{2}+2x}$, $\displaystyle {2x^{2}-2x-4}={0}$, $\displaystyle {x^{2}-x-2}={0}$, ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-1}$. נקודות החיתוך: $\displaystyle (2,0)$ ו-$\displaystyle (-1,-3)$.

פתרו את המערכות.

בכמה נקודות חותכת הפרבולה $\displaystyle {y}={x^{2}}$ כל אחד מהישרים $\displaystyle {y}={4}$, $\displaystyle {y}={0}$ ו-$\displaystyle {y}={-1}$?
שרטטו את הפרבולה ואת שלושת הישרים.
פתרו את שלוש המערכות.