הפונקציה y=ax²

בפונקציה ריבועית החזקה הגבוהה ביותר היא $\displaystyle x^{2}$ . הפשוטה שבהן היא $\displaystyle {y}={x^{2}}$ , והגרף שלה הוא עקומה שנקראת פרבולה.

טבלה וגרף של

\displaystyle {y}={x^{2}}

מספר שלילי בריבוע הוא חיובי:

\displaystyle {(-3)^{2}}={9}

$\displaystyle x$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle {y}={x^{2}}$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 9$

את הנקודות שבטבלה מחברים בקו מעוגל:

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle (-3,9)

\displaystyle (-2,4)

\displaystyle (-1,1)

\displaystyle (0,0)

\displaystyle (1,1)

\displaystyle (2,4)

\displaystyle (3,9)

הקודקוד וציר הסימטריה

הקודקוד של פרבולה הוא הנקודה הנמוכה ביותר שלה (או הגבוהה ביותר). הקודקוד של $\displaystyle {y}={x^{2}}$ הוא $\displaystyle (0,0)$ .
ציר הסימטריה הוא הישר האנכי שעובר דרך הקודקוד: שני חצאי הפרבולה הם תמונת ראי זה של זה ביחס אליו. ב- $\displaystyle {y}={x^{2}}$ זה ציר ה- $\displaystyle y$ , $\displaystyle {x}={0}$ – כי $\displaystyle x$ ו- $\displaystyle -x$ נותנים אותו $\displaystyle y$ : $\displaystyle {(-3)^{2}}={3^{2}}={9}$ .

הסימן של

\displaystyle a

: מינימום או מקסימום

ב-

\displaystyle {y}={-x^{2}}

קודם מעלים בריבוע, ורק אחר כך המינוס: כאשר

\displaystyle {x}={3}

\displaystyle {y}={-9}

ב- $\displaystyle {y}={ax^{2}}$ ( $\displaystyle a\neq0$ ) הסימן של $\displaystyle a$ קובע לאן הפרבולה פתוחה:

$\displaystyle a>0$ : היא פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד הוא נקודת מינימום – $\displaystyle {y}={x^{2}}$ (הרציפה), $\displaystyle {y}={2x^{2}}$ .
$\displaystyle a<0$ : היא פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא נקודת מקסימום – $\displaystyle {y}={-x^{2}}$ (המקווקוות).

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle y=-x^{2}

התכונות של

\displaystyle {y}={ax^{2}}

	$\displaystyle a>0$	$\displaystyle a<0$
קודקוד	$\displaystyle (0,0)$ – נקודת מינימום	$\displaystyle (0,0)$ – נקודת מקסימום
תחום עלייה	$\displaystyle x>0$	$\displaystyle x<0$
תחום ירידה	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle x>0$
נקודות חיתוך עם הצירים	רק $\displaystyle (0,0)$	רק $\displaystyle (0,0)$
תחום חיוביות	כל $\displaystyle x\neq0$	אין
תחום שליליות	אין	כל $\displaystyle x\neq0$

תרגיל 1

הפונקציה $\displaystyle {y}={2x^{2}}$ :

השלימו טבלה עבור $\displaystyle {x}={-3,-2,-1,0,1,2,3}$ .
שרטטו סקיצה של הגרף שלה.
כתבו את התכונות שלה: קודקוד, מינימום או מקסימום, תחומי עלייה וירידה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הפונקציה היא $\displaystyle {y}={-2x^{2}}$ .
חשבו את ערכה ב- $\displaystyle {x}={3}$ וב- $\displaystyle {x}={-2}$ .
כתבו את התכונות שלה: קודקוד, מינימום או מקסימום, תחומי עלייה וירידה, תחום חיוביות ותחום שליליות.

תרגיל 3

אילו מהנקודות האלה נמצאות על הגרף של $\displaystyle {y}={-x^{2}}$ : $\displaystyle (3,-9)$ , $\displaystyle (-2,4)$ , $\displaystyle (-1,-1)$ , $\displaystyle (0,0)$ ?
לאילו מהפונקציות האלה יש נקודת מקסימום: $\displaystyle {y}={5x^{2}}$ , $\displaystyle {y}={-0.5x^{2}}$ , $\displaystyle {y}={0.1x^{2}}$ , $\displaystyle {y}={-x^{2}}$ ?

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$