בעיות מילוליות

בעיה מילולית הופכת למשוואה, והרבה בעיות מובילות למשוואה ריבועית או למערכת משוואות. למשוואה ריבועית יש לעיתים קרובות שני פתרונות, והסיפור קובע איזה מהם הוא התשובה.

שלבי הפתרון של בעיה מילולית

פתרון שאינו מתאים לסיפור – אורך שלילי, חצי אדם – נפסל.

בוחרים משתנה, וכותבים מה הוא מייצג: “ $\displaystyle x$ – הרוחב בס"מ”.
מבטאים בעזרת $\displaystyle x$ את שאר הכמויות.
בונים משוואה מהמשפט שאומר מה שווה למה.
פותרים.
בודקים כל פתרון מול הסיפור, ועונים על השאלה במילים.

דוגמה: מספרים

המכפלה של שני מספרים טבעיים עוקבים היא 56.
מהם המספרים?

$\displaystyle x$ – המספר הקטן, $\displaystyle x+1$ – המספר שאחריו. $\displaystyle {x(x+1)}={56}$ , $\displaystyle {x^{2}+x-56}={0}$ , $\displaystyle {(x+8)(x-7)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={7}$ או $\displaystyle {x}={-8}$ . $\displaystyle -8$ אינו מספר טבעי, ולכן הוא נפסל. המספרים הם 7 ו-8 ( $\displaystyle {7\cdot8}={56}$ ).

דוגמה: שטח של מלבן

אורכו של מלבן גדול ב-3 ס"מ מרוחבו, ושטחו 40 סמ"ר.
מהן צלעותיו?

$\displaystyle x$ – הרוחב, $\displaystyle x+3$ – האורך. $\displaystyle {x(x+3)}={40}$ , $\displaystyle {x^{2}+3x-40}={0}$ , $\displaystyle {(x+8)(x-5)}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={5}$ או $\displaystyle {x}={-8}$ . אורך הוא מספר חיובי, ולכן $\displaystyle -8$ נפסל. הצלעות: 5 ס"מ ו-8 ס"מ.

דוגמה: תנועה

דרך = מהירות × זמן, ולכן זמן = דרך : מהירות.

רוכב אופניים רכב 60 ק"מ.
אילו רכב מהר יותר ב-5 קמ"ש, היה מגיע שעה אחת מוקדם יותר.
מה הייתה מהירותו?

	מהירות (קמ"ש)	זמן (שעות)	דרך (ק"מ)
כפי שרכב	$\displaystyle v$	$\displaystyle \frac{60}{v}$	60
מהר יותר	$\displaystyle v+5$	$\displaystyle \frac{60}{v+5}$	60

הרכיבה המהירה קצרה בשעה: $\displaystyle {\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}}={1}$ . כופלים ב- $\displaystyle v(v+5)$ : $\displaystyle {60(v+5)-60v}={v(v+5)}$ , כלומר $\displaystyle {v^{2}+5v-300}={0}$ . לפי נוסחת השורשים: $\displaystyle {v}={\frac{-5\pm\sqrt{25+1200}}{2}}={\frac{-5\pm35}{2}}$ , ולכן $\displaystyle {v}={15}$ או $\displaystyle {v}={-20}$ . מהירות היא מספר חיובי: הרוכב רכב במהירות 15 קמ"ש. בדיקה: 60 ק"מ נמשכים 4 שעות במהירות 15 קמ"ש, ו-3 שעות במהירות 20 קמ"ש.

שני נעלמים: מערכת משוואות

כשבסיפור יש שתי כמויות לא ידועות, אפשר לתת לכל אחת משתנה משלה, וכל משפט נותן משוואה. היקפו של מלבן 34 ס"מ, והאלכסון שלו 13 ס"מ: אם הצלעות הן $\displaystyle x$ ו- $\displaystyle y$ , אז $\displaystyle {x+y}={17}$ , ולפי משפט פיתגורס $\displaystyle {x^{2}+y^{2}}={169}$ . מבודדים $\displaystyle {y}={17-x}$ ומציבים במשוואה השנייה.

תרגיל 1

הריבוע של מספר טבעי גדול ב-30 מהמספר עצמו.
מהו המספר?

המספר

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

במשולש ישר־זווית ניצב אחד ארוך ב-7 ס"מ מהניצב השני, והיתר הוא 13 ס"מ.
מצאו את הניצבים.

הניצב הקצר

הניצב הארוך

תרגיל 3

לתמונה שמידותיה 20 ס"מ על 30 ס"מ יש מסגרת ברוחב קבוע מכל הצדדים.
השטח של התמונה עם המסגרת הוא 1200 סמ"ר.
מה רוחב המסגרת?
שרטטו קודם.

רוחב המסגרת

תרגיל 4

מצאו את הצלעות של המלבן שהיקפו 34 ס"מ והאלכסון שלו 13 ס"מ (הדוגמה שלמעלה).

תרגיל 5

הסכום של שני מספרים הוא 10, והמכפלה שלהם היא 21.
כתבו מערכת משוואות ופתרו אותה.

תרגיל 6

מכונית נסעה 240 ק"מ מחיפה לאילת.
בדרך חזרה נסעה מהר יותר ב-20 קמ"ש, והנסיעה נמשכה שעה אחת פחות.
מה הייתה מהירותה בדרך הלוך?
בנו טבלה כמו בדוגמה.

המהירות בדרך הלוך

תרגיל 7

זורקים כדור ישר למעלה.
הגובה שלו במטרים אחרי $\displaystyle t$ שניות הוא $\displaystyle {h}={-5t^{2}+20t}$ .
א. מתי הכדור בגובה 15 מטרים? למה יש שתי תשובות?
ב. מתי הוא נוחת?
ג. מהו הגובה הרב ביותר שהוא מגיע אליו, ומתי?

ב. הנחיתה

ג. הגובה הרב ביותר

ג. מתי

תרגיל 8

מעיל עלה 200 שקלים.
המחיר שלו עלה פעמיים באותו אחוז, ועכשיו הוא עולה 242 שקלים.
בכמה אחוזים עלה המחיר בכל פעם?
רמז: עלייה של $\displaystyle p$ אחוזים כופלת את המחיר ב- $\displaystyle 1+\frac{p}{100}$ .

האחוז

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$