דלג לתוכן

הערכת הסתברות לפי שכיחות יחסית

נתונים והסתברות, כיתה ז' שיעור 6 מתוך 9לימוד

הערכת הסתברות לפי שכיחות יחסית

הסתברות

בכיתה ו’ דיברתם על סיכוי: עד כמה סביר שמשהו יקרה. במתמטיקה קוראים למספר הזה הסתברות.

  • ניסוי הוא פעולה שהתוצאה שלה אינה ידועה מראש: הטלת קובייה, זריקת נעץ, בחירת תלמיד בהגרלה.
  • מאורע הוא מה שבודקים אם קרה: “יצא 6”, “הנעץ נחת על הגב”.
  • ההסתברות של מאורע היא מספר מ-0 עד 1, או מ-0% עד 100%, שאומר עד כמה סביר שהמאורע יקרה.
הערכה בניסויים חוזרים

בקובייה סימטרית לכל פאה אותה הסתברות, 16\displaystyle \frac{1}{6}: אין סיבה שפאה אחת תצא יותר מאחרת. לנעץ, לכוס פלסטיק או לבקבוק אין צדדים שווים, ואי אפשר לחשב את ההסתברות מראש.
לכן מעריכים אותה: חוזרים על הניסוי פעמים רבות, ומחשבים את השכיחות היחסית של המאורע.

P(A)≈fn\displaystyle P(A)\approx\frac{f}{n}
  • A\displaystyle A – המאורע, ו-P(A)\displaystyle P(A) – ההסתברות שלו.
  • f\displaystyle f – מספר הפעמים שהמאורע קרה.
  • n\displaystyle n – מספר הפעמים שעשו את הניסוי.
דוגמה: היפוך בקבוק

בדוגמה שלפניכם נעריך את ההסתברות שבקבוק מים, שמסובבים באוויר, ינחת עומד.
נועם זרק את הבקבוק פעמים רבות, ומדי פעם רשם כמה פעמים הוא נחת עומד עד אז:

זריקות10501005001,000
נחת עומד482396201
שכיחות יחסית0.40.160.230.1920.201
  • אחרי 10 זריקות השכיחות היחסית הייתה 0.4, ואחרי 50 – רק 0.16: בזריקות מעטות המזל משנה הרבה.
  • מ-100 זריקות והלאה היא משתנה מעט, ונשארת קרוב ל-0.2.
  • לכן ההסתברות שהבקבוק ינחת עומד היא בערך 0.2, כלומר בערך 20%.
השכיחות היחסית מתייצבת

כך זה נראה כשמחשב זורק כוס פלסטיק 1,000 פעמים, ובודק בכל זריקה אם הכוס נחתה על הצד:

  • הקו בגרף הוא השכיחות היחסית של “על הצד” אחרי כל מספר של זריקות.
  • בהתחלה הוא קופץ למעלה ולמטה, ואחר כך כמעט אינו זז: השכיחות היחסית מתייצבת.
  • הסיבה: אחרי הרבה זריקות, זריקה אחת נוספת משנה את השבר fn\displaystyle \frac{f}{n} רק מעט.
דיוק ההערכה

שכיחות יחסית היא הערכה של ההסתברות, ולא ההסתברות עצמה.

  • אם נועם יזרוק את הבקבוק עוד 1,000 פעמים, השכיחות היחסית תצא כנראה קצת אחרת, למשל 0.196.
  • ככל שעושים יותר ניסויים, ההערכה טובה יותר: הערכה מ-1,000 זריקות טובה יותר מהערכה מ-10 זריקות.
תרגיל 1

העריכו את ההסתברות שכוס הפלסטיק תנחת הפוכה.
זרקו אותה 10 פעמים ורשמו את השכיחות היחסית, אחר כך עוד 100 פעמים, ואחר כך עוד 1,000 פעמים.
איזו מההערכות הכי טובה? למה?

תרגיל 2

שחקנית כדורסל קלעה העונה 72 זריקות עונשין מתוך 90.
העריכו את ההסתברות שהיא תקלע בזריקת העונשין הבאה.

א

כתבו את ההסתברות כמספר עשרוני.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    כתבו אותה באחוזים.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      כתבו אותה כשבר מצומצם.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        יואב זרק נעץ 20 פעמים, והוא נחת על הגב 14 פעמים.
        מיכל זרקה נעץ כזה 500 פעמים, והוא נחת על הגב 290 פעמים.

        א

        מהי ההערכה של יואב להסתברות שהנעץ ינחת על הגב? כתבו אותה כמספר עשרוני.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          מהי ההערכה של מיכל? כתבו אותה כמספר עשרוני.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            של מי ההערכה טובה יותר? הסבירו.

            תרגיל 4

            לרולטה יש שלושה חלקים צבעוניים, לא בגודל שווה. סובבו אותה 400 פעמים:

            צבעאדוםכחולצהוב
            שכיחות15017080
            א

            העריכו את ההסתברות שהמחוג ייעצר על צהוב. כתבו אותה באחוזים.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              העריכו את ההסתברות שהמחוג ייעצר על אדום או על כחול. כתבו אותה כמספר עשרוני.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה