דלג לתוכן

הסתברות מ-0 עד 1 ומספר הפעמים הצפוי

נתונים והסתברות, כיתה ז' שיעור 7 מתוך 9לימוד

הסתברות מ-0 עד 1 ומספר הפעמים הצפוי

מ-0 עד 1

ההסתברות של מאורע היא תמיד מספר מ-0 עד 1. הסיבה: מספר הפעמים שהמאורע קרה הוא לכל היותר מספר הניסויים, ולכן השבר fn\displaystyle \frac{f}{n} אינו קטן מ-0 ואינו גדול מ-1.

  • ככל שההסתברות קרובה יותר ל-1, המאורע סביר יותר.
  • הסתברות 12\displaystyle \frac{1}{2}, כלומר 50%: המאורע קורה בערך בחצי מהפעמים, כמו עץ בהטלת מטבע.
  • באחוזים: מ-0% עד 100%.
מאורע בלתי אפשרי ומאורע ודאי

בקצוות של הסולם יש שני סוגים של מאורעות:

  • מאורע בלתי אפשרי לעולם אינו קורה, וההסתברות שלו 0. למשל: בהטלת קובייה רגילה יוצא 7.
  • מאורע ודאי קורה בכל פעם, וההסתברות שלו 1, כלומר 100%. למשל: בהטלת קובייה יוצא מספר קטן מ-7.
  • כל שאר המאורעות – בין 0 ל-1. למשל: בהטלת קובייה יוצא מספר זוגי – 36=12\displaystyle {\frac{3}{6}}={\frac{1}{2}}.
שכיחות יחסית 0 בניסויים מעטים

דן הטיל קובייה 8 פעמים, ו-6 לא יצא אף פעם. השכיחות היחסית של 6 היא 08=0\displaystyle {\frac{0}{8}}={0}, אבל המאורע “יצא 6” אינו בלתי אפשרי: ההסתברות שלו היא 16\displaystyle \frac{1}{6}, ובמקרה הוא לא קרה בשמונה ההטלות.

  • שכיחות יחסית 0 או 1 בניסויים מעטים אינה אומרת שהמאורע בלתי אפשרי או ודאי.
מספר הפעמים הצפוי

כשיודעים את ההסתברות של מאורע, מעריכים כמה פעמים הוא יקרה בהרבה ניסויים: כופלים את ההסתברות במספר הניסויים.

P(A)⋅n\displaystyle P(A)\cdot n
  • מטילים קובייה 300 פעמים. ההסתברות ל-6 היא 16\displaystyle \frac{1}{6}, ולכן 6 צפוי לצאת בערך 16⋅300=50\displaystyle {\frac{1}{6}\cdot300}={50} פעמים.
  • הבקבוק נוחת עומד בהסתברות של בערך 0.2. ב-50 זריקות הוא צפוי לנחות עומד בערך 0.2⋅50=10\displaystyle {0.2\cdot50}={10} פעמים.
  • “צפוי” אינו “בדיוק”: אולי 6 ייצא 47 פעמים, אולי 55 – אבל קרוב ל-50.
הסתברות באחוזים

התחזית לעשרת ימי החופשה: “בכל יום ההסתברות לגשם היא 30%.”
כמה ימי גשם צפויים? 30%⋅10=30100⋅10=3\displaystyle {30\%\cdot10}={\frac{30}{100}\cdot10}={3}: בערך 3 ימים.

תרגיל 1

לכל מאורע, כתבו אם הוא ודאי, בלתי אפשרי או לא זה ולא זה:

  • בהטלת קובייה יוצא מספר גדול מ-0.
  • מוציאים כדור משקית שיש בה רק כדורים כחולים, והכדור אדום.
  • מחר יירד גשם.
  • בהטלת מטבע אחת יוצאים גם עץ וגם פלי.
תרגיל 2

אלה ההסתברויות של ארבעה מאורעות:
0.35\displaystyle 0.35, 35\displaystyle \frac{3}{5}, 40%\displaystyle 40\%, 14\displaystyle \frac{1}{4}
סדרו אותן מהמאורע הסביר ביותר לפחות סביר.

תרגיל 3

מטילים קובייה 600 פעמים.
בערך כמה פעמים ייצא 3?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 4

    שחקן כדורגל קולע פנדל בהסתברות 0.85.
    בערך בכמה פנדלים מתוך 40 הוא יקלע?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 5

      במפעל צפויים בערך 12 טלפונים פגומים מכל 400 טלפונים.
      מהי ההסתברות שטלפון שנבחר באקראי פגום? כתבו אותה באחוזים.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 6

        בקבוק נוחת עומד בהסתברות 0.2.
        כמה פעמים צריך לזרוק אותו, כדי שהוא צפוי לנחות עומד בערך 30 פעמים?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה