שכיחות יחסית: שבר, מספר עשרוני ואחוז

השכיחות היחסית של ערך היא החלק שלו מכל הנתונים: השכיחות שלו, חלקי מספר כל הנתונים.

• $\displaystyle f$ – השכיחות של הערך.
• $\displaystyle n$ – מספר כל הנתונים.

40 תלמידים ענו על השאלה “כמה אחים ואחיות יש לכם?”:

ל-11 מתוך 40 התלמידים יש 2 אחים ואחיות: השכיחות היחסית של 2 היא $\displaystyle \frac{11}{40}$.

את אותה שכיחות יחסית כותבים בשלוש דרכים:

• משבר למספר עשרוני: מחלקים את המונה במכנה, $\displaystyle {11:40}={0.275}$.
• ממספר עשרוני לאחוזים: כופלים ב-100, $\displaystyle {0.275\times100}={27.5}$, כלומר 27.5%.
• מאחוזים לשבר: $\displaystyle {27.5\%}={\frac{27.5}{100}}={\frac{275}{1000}}={\frac{11}{40}}$.

כך נראית כל הטבלה, עם השכיחויות היחסיות באחוזים:

סכום השכיחויות היחסיות של כל הערכים הוא 1, כלומר 100%:

• $\displaystyle f_1, f_2, \dots, f_k$ – השכיחויות של כל הערכים. הסכום שלהן הוא $\displaystyle n$, ולכן סכום השברים הוא $\displaystyle {\frac{n}{n}}={1}$.
• כאן: $\displaystyle {15\%+35\%+27.5\%+17.5\%+5\%}={100\%}$. סכום אחר אומר שיש טעות בחשבון.

לפעמים החילוק אינו נגמר. בכיתה 30 תלמידים, ו-7 מהם רשומים לחוג תיאטרון:
$\displaystyle {\frac{7}{30}}={0.2333\ldots}$, ומעגלים, למשל לעשירית האחוז: $\displaystyle \frac{7}{30}\approx23.3\%$.

• הסימן $\displaystyle \approx$ פירושו “שווה בערך”.
• כשמעגלים כמה שכיחויות יחסיות, הסכום שלהן יכול לצאת קצת פחות מ-100% או קצת יותר, למשל 99.9%. אין כאן טעות: זה העיגול.

לכמה מהתלמידים בטבלה יש לפחות 3 אחים ואחיות? מחברים את השכיחויות של 3 ושל “4 או יותר”: $\displaystyle {7+2}={9}$, והשכיחות היחסית היא $\displaystyle {\frac{9}{40}}={22.5\%}$.

אפשר גם לחבר את השכיחויות היחסיות שלהם: $\displaystyle {17.5\%+5\%}={22.5\%}$.

דיאגרמת עוגה מראה את השכיחויות היחסיות כחלקים של עיגול. העיגול כולו הוא כל הנתונים, 100%, וכל ערך מקבל חלק בגודל השכיחות היחסית שלו.
160 תלמידי שכבה ז’ ענו איך הם מגיעים לבית הספר:

• חצי עיגול הוא 50%, ורבע עיגול הוא 25%. מיד רואים שפחות מחצי מהתלמידים הולכים ברגל, ושיותר מרבע מגיעים באוטובוס.
• ברגל: $\displaystyle {\frac{64}{160}}={40\%}$. מהאחוז חוזרים לשכיחות בכפל: $\displaystyle {40\%\times160}={64}$ תלמידים.
• בדיאגרמת עוגה רואים את החלק של כל ערך מהכול; בדיאגרמת עמודות קל יותר להשוות בין שני ערכים קרובים.

בסקר ענו 80 תלמידים, ו-14 מהם אמרו שהם מנגנים בכלי נגינה.
מהי השכיחות היחסית של התלמידים שמנגנים?

כתבו אותה כשבר מצומצם.

כתבו אותה כמספר עשרוני.

כתבו אותה באחוזים.

50 תלמידים כתבו כמה שעות ישנו בלילה שעבר:

מהי השכיחות היחסית של 8 שעות? כתבו אותה באחוזים.

איזה חלק מהתלמידים ישנו לפחות 8 שעות? כתבו אותו באחוזים.

300 תלמידי חטיבת הביניים בחרו לאן ייצאו לטיול השנתי:

כמה תלמידים בחרו בירושלים?

כמה תלמידים לא בחרו בצפון?

200 איש ענו על סקר עם ארבע תשובות.
השכיחויות היחסיות של שלוש מהתשובות הן 35%, 20% ו-12.5%.

מהי השכיחות היחסית של התשובה הרביעית?

כמה אנשים בחרו בתשובה הרביעית?