הממוצע

נתונים והסתברות, כיתה ח' שיעור 6 מתוך 14לימוד

הממוצע

הממוצע של נתונים הוא הסכום שלהם, מחולק במספר הנתונים.

כשהנתונים הם $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$ – $\displaystyle n$ מספרים – הממוצע $\displaystyle \bar{x}$ (קוראים: “איקס גג”) הוא:

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

הנקודות שקלעה נועה בחמישה משחקי כדורסל:
$\displaystyle 12, 18, 9, 15, 21$

הסכום: $\displaystyle {12+18+9+15+21}={75}$ .
יש 5 נתונים, ולכן הממוצע: $\displaystyle {\frac{75}{5}}={15}$ נקודות למשחק.

הממוצע כחלוקה שווה

הממוצע הוא מה שכל אחד היה מקבל אילו חילקנו את הסכום הכולל שווה בשווה.

ארבעה חברים קטפו לימונים: 3, 9, 5 ו-7 ק"ג.

יחד הם קטפו $\displaystyle {3+9+5+7}={24}$ ק"ג.
אילו כל אחד קטף אותה כמות: $\displaystyle {\frac{24}{4}}={6}$ ק"ג לכל אחד – וזה הממוצע.
בדיאגרמה: מה שעודף בעמודות שגבוהות מ-6 ממלא בדיוק את מה שחסר בעמודות הנמוכות ממנו.

ממוצע של 2.4 ילדים

הממוצע יכול לצאת מספר שאינו מופיע בנתונים, ואפילו מספר שאינו שלם.

מספר הילדים בחמש משפחות ברחוב: $\displaystyle 3, 2, 1, 4, 2$ .
הממוצע: $\displaystyle {\frac{12}{5}}={2.4}$ ילדים למשפחה.

לאף משפחה אין 2.4 ילדים, אבל המספר מתאר את כל חמש המשפחות יחד: ב-10 משפחות כאלה יש בערך 24 ילדים.

הממוצע מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות כל ערך מופיע כמה פעמים, לפי השכיחות שלו. לכן כופלים כל ערך בשכיחות שלו, מחברים, ומחלקים במספר הנתונים – סכום השכיחויות.

הציונים של 20 תלמידים בבוחן (מתוך 10):

ציון	6	7	8	9	10
שכיחות	2	5	6	5	2

סכום הציונים: $\displaystyle {6\cdot2+7\cdot5+8\cdot6+9\cdot5+10\cdot2}={12+35+48+45+20}={160}$
מספר התלמידים: $\displaystyle {2+5+6+5+2}={20}$ .
הממוצע: $\displaystyle {\frac{160}{20}}={8}$ .

כשלערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ יש השכיחויות $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ :

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

ערך חסר לפי הממוצע

כשהממוצע ידוע וחסר רק ערך אחד, הערך החסר הוא הפתרון של משוואה.

לנועם יש שני ציונים: 70 ו-85.
הוא רוצה שהממוצע של שלושת הציונים שלו יהיה 80.
כמה הוא צריך לקבל במבחן השלישי?

נסמן את הציון השלישי ב- $\displaystyle x$ , ונכתוב שהממוצע הוא 80:

\frac{70+85+x}{3}=80

נכפול את שני האגפים ב-3: $\displaystyle {70+85+x}={240}$ .
$\displaystyle {155+x}={240}$ , ולכן $\displaystyle {x}={85}$ .

בדיקה: $\displaystyle {\frac{70+85+85}{3}}={\frac{240}{3}}={80}$ . נועם צריך 85.

הוספת ערך לנתונים

ערך חדש גדול מהממוצע מעלה אותו, ערך קטן מהממוצע מוריד אותו, וערך ששווה לממוצע משאיר אותו כמו שהוא.

הממוצע של ארבעה מספרים הוא 15, כלומר הסכום שלהם $\displaystyle {4\cdot15}={60}$ . מוסיפים את המספר 20:

הסכום החדש: $\displaystyle {60+20}={80}$ , ויש עכשיו 5 מספרים.
הממוצע החדש: $\displaystyle {\frac{80}{5}}={16}$ – גדל, כי 20 גדול מ-15.

תרגיל 1

חשבו את הממוצע.

כמה דקות קראה מאיה בכל יום בשבוע: $\displaystyle 25, 40, 30, 15, 35, 45, 20$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

המחיר של מחברת בשש חנויות, בשקלים: $\displaystyle 12, 15, 9, 14, 10, 18$ .

תרגיל 2

בצומת ספרו כמה אנשים יש ב-30 מכוניות שעברו בו:

אנשים במכונית	1	2	3	4
שכיחות	14	8	5	3

חשבו את מספר האנשים הממוצע במכונית.

תרגיל 3

הציונים של יואב בארבעה בחנים: 8, 6, 9 ו-7.
הוא רוצה ממוצע 8 בחמשת הבחנים.

פתרו את המשוואה: מה הציון $\displaystyle x$ שיואב צריך בבוחן החמישי?

תרגיל 4

מאיה רצה שלושה ימים: 4 ק"מ, 6 ק"מ ו-5 ק"מ.
היא רוצה שהממוצע של ארבעת הימים יהיה 6 ק"מ.

כמה ק"מ עליה לרוץ ביום הרביעי? כתבו משוואה ופתרו אותה.

תרגיל 5

הגובה הממוצע של שישה תלמידים הוא 150 ס"מ.
תלמיד שביעי, שגובהו 157 ס"מ, הצטרף אליהם.

חשבו את הגובה הממוצע של שבעת התלמידים.

תרגיל 6

הממוצע של 25 תלמידי הכיתה במבחן הוא 75.
תלמיד חדש עשה את אותו מבחן.

האם הממוצע של הכיתה יעלה, ירד או יישאר כמו שהוא, אם הציון של התלמיד החדש הוא:

הסבירו בלי לחשב.

תרגיל 7

הממוצע של המספרים $\displaystyle 3, 5, 10$ הוא 6.
מוסיפים 2 לכל אחד מהם.

מה הממוצע עכשיו? הסבירו מדוע זה קורה.

נוסחאות: נתונים והסתברות, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

שכיחות יחסית

השכיחות היחסית של תשובה – $\displaystyle f$ השכיחות שלה, $\displaystyle n$ סך כל השכיחויות
$\displaystyle \frac{f}{n}$

מדדי מרכז וטווח

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle R=x_{\max}-x_{\min}$

הסתברות

תוצאות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר כל התוצאות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
מאורע בלתי אפשרי – 0, מאורע ודאי – 1
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מספר הפעמים הצפוי שמאורע $\displaystyle A$ יקרה ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle n\cdot P(A)$