דלג לתוכן

המאורע המשלים ושכיחות יחסית

נתונים והסתברות, כיתה ח' שיעור 12 מתוך 14לימוד

המאורע המשלים ושכיחות יחסית

המאורע המשלים

המאורע המשלים של A\displaystyle A הוא המאורע “A\displaystyle A לא קורה”: כל התוצאות שאינן ב-A\displaystyle A. מסמנים אותו A‾\displaystyle \overline{A} – האות A\displaystyle A עם קו מעליה.

  • בהטלת קובייה, A\displaystyle A – “יצא 6”: התוצאה 6.
  • A‾\displaystyle \overline{A} – “לא יצא 6”: התוצאות 1, 2, 3, 4, 5.
  • כל תוצאה נמצאת בדיוק באחד מהם: ב-A\displaystyle A או ב-A‾\displaystyle \overline{A}.
ההסתברות של המאורע המשלים

ההסתברות של מאורע וההסתברות של המאורע המשלים שלו מסתכמות ב-1:

P(A‾)\displaystyle P(\overline{A}) =\displaystyle = 1−P(A)\displaystyle 1-P(A)
  • למה: אם ב-A\displaystyle A יש k\displaystyle k תוצאות מתוך n\displaystyle n, ב-A‾\displaystyle \overline{A} יש כל השאר – n−k\displaystyle n-k תוצאות. ו-n−kn=1−kn\displaystyle {\frac{n-k}{n}}={1-\frac{k}{n}}.
  • בקובייה: P(A)=16\displaystyle {P(A)}={\frac{1}{6}}, ולכן P(A‾)=1−16=56\displaystyle {P(\overline{A})}={1-\frac{1}{6}}={\frac{5}{6}}.
דוגמה: תחזית מזג האוויר

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות של המאורע המשלים, כשנתונה רק ההסתברות של המאורע ואין תוצאות לספור.

בתחזית מזג האוויר נאמר שההסתברות שמחר יירד גשם היא 0.3.
המאורע A\displaystyle A: מחר יירד גשם.
המאורע המשלים, A‾\displaystyle \overline{A}: מחר לא יירד גשם.

P(A‾)=1−0.3=0.7 P(\overline{A})=1-0.3=0.7
הסתברות כשבר, כמספר עשרוני ובאחוזים

הסתברות אפשר לכתוב כשבר, כמספר עשרוני או באחוזים – זה אותו מספר:

  • 14=0.25=25%\displaystyle {\frac{1}{4}}={0.25}={25\%};
  • 310=0.3=30%\displaystyle {\frac{3}{10}}={0.3}={30\%};
  • מאורע ודאי: 1=100%\displaystyle {1}={100\%}; מאורע בלתי אפשרי: 0=0%\displaystyle {0}={0\%}.
  • בתחזית אומרים “30% סיכוי לגשם”: זו הסתברות 0.3, וההסתברות שלא יירד גשם היא 70%.
שכיחות יחסית והסתברות

כשחוזרים על ניסוי פעמים רבות, השכיחות היחסית של מאורע מתקרבת להסתברות שלו.

  • השכיחות היחסית: מספר הפעמים שהמאורע קרה, חלקי מספר הפעמים שעשו את הניסוי.

בדוגמה שלפניכם הטילו קובייה 1,000 פעמים, ובכל הטלה בדקו אם יצא 6.

  • הקו המקווקו בגרף הוא ההסתברות לקבל 6: 16≈0.167\displaystyle \frac{1}{6}\approx0.167.
  • הקו הרציף הוא השכיחות היחסית של 6 אחרי כל מספר של הטלות.
  • אחרי 10 הטלות יצא 6 בארבע מהן: השכיחות היחסית היא 410=0.4\displaystyle {\frac{4}{10}}={0.4} – רחוקה מההסתברות.
  • אחרי 100 הטלות יצא 6 ב-22 מהן: 22100=0.22\displaystyle {\frac{22}{100}}={0.22} – כבר קרובה יותר.
  • אחרי 1,000 הטלות יצא 6 ב-160 מהן: 1601000=0.16\displaystyle {\frac{160}{1000}}={0.16} – קרובה מאוד ל-16\displaystyle \frac{1}{6}.

הסיבה: ככל שיש יותר הטלות, כל הטלה אחת משנה את השכיחות היחסית פחות.

  • אחרי 10 הטלות, 6 אחד נוסף משנה את השכיחות היחסית בעשירית.
  • אחרי 1,000 הטלות, 6 אחד נוסף משנה אותה רק באלפית.
  • השכיחות היחסית לא שווה בדיוק להסתברות – היא רק קרובה אליה.
הערכת הסתברות מנתונים

כשאין תוצאות שוות סיכוי לספור, השכיחות היחסית בנתונים שנאספו היא הערכה של ההסתברות.

בדוגמה שלפניכם נעריך את ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מגיע לבית הספר ברגל.
באקראי – בהגרלה, כך שלכל תלמיד אותו סיכוי להיבחר.
בבית ספר גדול שאלו 200 תלמידים איך הם מגיעים לבית הספר.
התשובות בטבלת השכיחויות:

איך מגיעיםברגלבאוטובוסבאופנייםברכב
מספר התלמידים84602432
  • השכיחות היחסית של “ברגל”: 84200=0.42=42%\displaystyle {\frac{84}{200}}={0.42}={42\%}.
  • לכן ההסתברות שתלמיד מבית הספר, שנבחר באקראי, מגיע ברגל היא בערך 0.42.
  • אם בוחרים באקראי תלמיד מתוך ה-200 שענו, ההסתברות היא בדיוק 0.42: כל תלמיד הוא תוצאה, ו-84 מהם מגיעים ברגל.
מספר הפעמים הצפוי

כשחוזרים על ניסוי n\displaystyle n פעמים, מאורע A\displaystyle A צפוי לקרות בערך n⋅P(A)\displaystyle n\cdot P(A) פעמים:

n⋅P(A)\displaystyle n\cdot P(A)
  • הסיבה: השכיחות היחסית קרובה ל-P(A)\displaystyle P(A), כלומר המאורע קורה בערך בחלק P(A)\displaystyle P(A) מהפעמים.
  • מטילים קובייה 600 פעמים: 6 צפוי לצאת בערך 600⋅16=100\displaystyle {600\cdot\frac{1}{6}}={100} פעמים – אולי 93, אולי 108.
  • בבית ספר אחר, דומה, 500 תלמידים: בערך 500⋅0.42=210\displaystyle {500\cdot0.42}={210} מהם צפויים להגיע ברגל.
תרגיל 1

חשבו את ההסתברות של המאורע המשלים.

א

ההסתברות שאלון יקלע לסל בזריקת עונשין היא 0.7.
מה ההסתברות שאלון יחטיא?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    בשקית 8 כדורים, ו-3 מהם ירוקים.
    מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.
    מה ההסתברות שהכדור אינו ירוק?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      ההסתברות לזכות בפרס בהגרלה של מועדון הספורט היא 2%.
      מה ההסתברות לא לזכות? כתבו את התשובה באחוזים.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        כתבו את שתי ההסתברויות הראשונות באחוזים.
        את ההסתברות האחרונה כתבו כשבר מצומצם.

        א

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            לשבר מצומצם

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              מטילים קובייה.
              המאורע: יוצא מספר גדול מ-4.

              א

              חשבו את ההסתברות של המאורע.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                הטילו את הקובייה 10 פעמים, ואחר כך עוד 1,000 פעמים.
                אחרי כל שלב כתבו את השכיחות היחסית של המאורע.
                מתי היא קרובה יותר להסתברות שחישבתם בסעיף א? הסבירו למה.

                תרגיל 4

                בסקר שאלו את 160 התלמידים של שכבת ח’ כמה אחים ואחיות יש להם.
                התשובות בטבלת השכיחויות:

                מספר האחים והאחיות01234 או יותר
                מספר התלמידים1656482812

                מגרילים תלמיד אחד מתוך 160 התלמידים.

                א

                מה ההסתברות שאין לו אחים ואחיות?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  מה ההסתברות שיש לו 2 אחים ואחיות או יותר?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ג

                    כתבו את ההסתברות מסעיף ב באחוזים.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      תרגיל 5

                      חשבו בערך כמה פעמים צפוי המאורע לקרות.

                      א

                      מטילים קובייה 300 פעמים.
                      כמה פעמים צפוי לצאת מספר זוגי?

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                        נעץ שמטילים על השולחן נוחת כשהחוד שלו למעלה, או על הצד.
                        בניסויים רבים נמצא שההסתברות שהנעץ ינחת כשהחוד למעלה היא בערך 0.6.
                        כמה פעמים צפוי החוד להיות למעלה ב-450 הטלות?

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ג

                          בבית ספר אחר, דומה, 400 תלמידים.
                          לפי הסקר שבתרגיל 4, לכמה מהם, בערך, אין אחים ואחיות?

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            תרגיל 6

                            מה הטעות בכל טענה? הסבירו.

                            א

                            ההסתברות לקבל 6 בהטלת קובייה היא 16\displaystyle \frac{1}{6}.
                            עמית אומר: “אם אטיל קובייה 6 פעמים, ייצא 6 בדיוק פעם אחת.”

                            ב

                            תמר הטילה מטבע 5 פעמים, ובכל ההטלות יצא פלי.
                            תמר אומרת: “בהטלה הבאה כמעט בטוח ייצא עץ.”