דלג לתוכן

הסתברות

נתונים והסתברות, כיתה ח' שיעור 11 מתוך 14לימוד

הסתברות

ההסתברות היא מספר שאומר עד כמה סביר שמשהו יקרה, כשאי אפשר לדעת מראש מה יקרה.

  • כשמטילים קובייה, יודעים מה יכול לצאת – מספר מ-1 עד 6 – אבל לא יודעים איזה מספר ייצא.

הטילו את הקובייה כמה פעמים. לפני כל הטלה נסו לנחש מה ייצא.

ניסוי ותוצאות

ניסוי הוא פעולה שהתוצאה שלה תלויה במזל: אי אפשר לדעת אותה מראש. כל מה שיכול לצאת בניסוי הוא תוצאה.

  • הטלת קובייה: שש תוצאות – 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • הטלת מטבע: שתי תוצאות – עץ ופלי.
  • סיבוב רולטה – עיגול מחולק לחלקים, ובמרכזו חץ שמסובבים: התוצאה היא החלק שהחץ נעצר עליו.
  • הוצאת כדור משקית בלי להסתכל: כל כדור הוא תוצאה.
  • הגרלה של תלמיד מכיתה של 30 תלמידים: 30 תוצאות – כל תלמיד הוא תוצאה.
מאורע

מאורע הוא קבוצה של תוצאות של הניסוי, שמתארים אותה במילים. מאורע קורה כשהתוצאה שיצאה היא אחת מהתוצאות שלו.

  • בהטלת קובייה, המאורע “יצא מספר זוגי” הוא התוצאות 2, 4 ו-6.
  • יצא 4 – המאורע קרה.
  • יצא 3 – המאורע לא קרה.
  • נוח לקרוא למאורע באות: A\displaystyle A – “יצא מספר זוגי”.
תוצאות שוות סיכוי

כשלכל התוצאות של הניסוי יש אותו סיכוי לצאת, הן שוות סיכוי. כך בהטלת מטבע, בהטלת קובייה הוגנת (שאף צד שלה לא יוצא יותר מהאחרים) ובהגרלה בלי להסתכל. אז ההסתברות של מאורע היא החלק של התוצאות שלו מתוך כל התוצאות:

P(A)=kn\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}
  • P(A)\displaystyle P(A) – ההסתברות של המאורע A\displaystyle A. האות P\displaystyle P באה מהמילה Probability, הסתברות באנגלית;
  • k\displaystyle k – מספר התוצאות במאורע A\displaystyle A;
  • n\displaystyle n – מספר כל התוצאות של הניסוי.
דוגמה: מספר גדול מ-4

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות שבהטלת קובייה ייצא מספר גדול מ-4.

  • כל התוצאות: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – שש תוצאות שוות סיכוי.
  • המאורע A\displaystyle A – “יצא מספר גדול מ-4”: התוצאות 5 ו-6, שתי תוצאות.
P(A)=26=13 P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
דוגמה: כדור משקית

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות להוציא כדור כחול משקית.

בשקית 3 כדורים אדומים, 5 כדורים כחולים ו-2 כדורים ירוקים.
מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.

  • לשלושת הצבעים אין אותו סיכוי: יש יותר כדורים כחולים.
  • התוצאות שוות הסיכוי הן הכדורים: 10 תוצאות.
  • המאורע B\displaystyle B – “הכדור כחול”: 5 כדורים מתוך ה-10.
P(B)=510=12 P(B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

ההסתברות של מאורע היא תמיד מספר בין 0 ל-1:

0≤P(A)≤1\displaystyle 0\le P(A)\le1
  • במאורע יש בין 0 ל-n\displaystyle n תוצאות, ולכן kn\displaystyle \frac{k}{n} הוא בין 0 ל-1.
  • מאורע בלתי אפשרי – אין בו אף תוצאה, וההסתברות שלו 0. בהטלת קובייה: “יצא 7”.
  • מאורע ודאי – יש בו כל התוצאות, וההסתברות שלו 1. בהטלת קובייה: “יצא מספר קטן מ-7”.
  • ככל שההסתברות קרובה יותר ל-1, סביר יותר שהמאורע יקרה.
השוואת סיכויים

כדי לדעת באיזה ניסוי הסיכוי למאורע גדול יותר, משווים את ההסתברויות, ולא את מספר התוצאות.

בדוגמה שלפניכם נבדוק מאיזו שקית הסיכוי להוציא כדור אדום גדול יותר.
בשקית א’ 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים.
בשקית ב’ 5 כדורים אדומים ו-5 כדורים כחולים.

  • בשקית א’ ההסתברות לאדום היא 35=0.6\displaystyle {\frac{3}{5}}={0.6}.
  • בשקית ב’ ההסתברות לאדום היא 510=0.5\displaystyle {\frac{5}{10}}={0.5}.
  • 0.6>0.5\displaystyle 0.6>0.5: הסיכוי להוציא כדור אדום גדול יותר בשקית א’, אף שבשקית ב’ יש יותר כדורים אדומים.
  • כדי להשוות שברים, נוח לכתוב אותם כמספרים עשרוניים, או באותו מכנה.
רולטה עם חלקים בגדלים שונים

החישוב kn\displaystyle \frac{k}{n} מתאים רק כשהתוצאות שוות סיכוי. ברולטה שבציור ארבעה צבעים, אבל החלק הכחול הוא חצי מהעיגול, ולכן החץ נעצר עליו לעיתים קרובות יותר.

  • מחלקים את העיגול לשישה חלקים שווים: שלושה כחולים, אחד אדום, אחד צהוב ואחד ירוק.
  • ששת החלקים שווי סיכוי, והכחול הוא שלושה מהם.
  • ההסתברות לכחול היא 36=12\displaystyle {\frac{3}{6}}={\frac{1}{2}}, ולא 14\displaystyle \frac{1}{4}.
  • ההסתברות לאדום היא 16\displaystyle \frac{1}{6}.
תרגיל 1

מטילים קובייה.
חשבו את ההסתברות של כל מאורע, וצמצמו את השבר אם אפשר.

א

יצא מספר אי־זוגי.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    יצא מספר קטן מ-3.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      יצא 5.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        בשקית 4 כדורים אדומים, 6 כדורים כחולים ו-2 כדורים צהובים.
        מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.
        חשבו את ההסתברות של כל מאורע.
        כתבו כל הסתברות כשבר מצומצם.

        א

        הכדור אדום.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          הכדור צהוב.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            הכדור אדום או צהוב.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ד

              הכדור ירוק.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                בטיול השנתי מגרילים פרס בין 40 תלמידי השכבה.
                כל תלמיד מקבל כרטיס עם מספר משלו, מ-1 עד 40.
                מוציאים כרטיס אחד בלי להסתכל.

                א

                מה ההסתברות שהמספר שיוגרל מסתיים ב-0?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  מה ההסתברות שהמספר שיוגרל גדול מ-30?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ג

                    לרוני יש הכרטיס עם המספר 17.
                    מה ההסתברות שרוני יזכה בפרס?

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      תרגיל 4

                      רולטה מחולקת לשמונה חלקים שווים, ועליהם המספרים 1 עד 8.
                      לכל מאורע כתבו אם הוא ודאי, בלתי אפשרי, או לא זה ולא זה, ומה ההסתברות שלו.

                      א. יצא מספר קטן מ-9.
                      ב. יצא 0.
                      ג. יצא מספר זוגי.
                      ד. יצא מספר דו־ספרתי.

                      א

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ג

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ד

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              תרגיל 5

                              גלית רוצה להוציא כדור אדום מאחת משתי שקיות, בלי להסתכל.
                              בשקית א’ 2 כדורים אדומים ו-3 כדורים כחולים.
                              בשקית ב’ 4 כדורים אדומים ו-8 כדורים כחולים.
                              גלית אומרת: “בשקית ב’ יש יותר כדורים אדומים, ולכן כדאי לי להוציא ממנה.”

                              האם גלית צודקת? הסבירו בעזרת ההסתברויות.

                              תרגיל 6

                              ברולטה שבציור חצי מהעיגול אדום, רבע כחול ורבע צהוב.
                              דני אומר: “ברולטה שלושה צבעים, ולכן ההסתברות לאדום היא 13\displaystyle \frac{1}{3}.”

                              א

                              מה הטעות של דני? מה ההסתברות לאדום?

                              אדום

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                ב

                                מה ההסתברות שהחץ ייעצר על כחול או על צהוב?

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה