דלג לתוכן

זוויות צמודות וזוויות קודקודיות

גאומטריה, כיתה ז' שיעור 4 מתוך 18לימוד

זוויות צמודות וזוויות קודקודיות

זוויות צמודות

זוויות צמודות הן שתי זוויות עם קודקוד משותף ושוק משותפת, ששתי השוקיים האחרות שלהן יוצרות קו ישר אחד. בשרטוט α\displaystyle \alpha ו-β\displaystyle \beta צמודות:

  • הקודקוד המשותף הוא B\displaystyle B, והשוק המשותפת היא BD\displaystyle BD.
  • השוקיים האחרות, BA\displaystyle BA ו-BC\displaystyle BC, יוצרות את הישר AC\displaystyle AC.
  • יחד α\displaystyle \alpha ו-β\displaystyle \beta ממלאות את הזווית השטוחה ∠ABC\displaystyle \angle ABC, ולכן הסכום שלהן הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}:
α+β\displaystyle \alpha+\beta =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}

דוגמה: כש-β=65∘\displaystyle {\beta}={65^{\circ}}, הזווית הצמודה לה היא α=180∘−65∘=115∘\displaystyle {\alpha}={180^{\circ}-65^{\circ}}={115^{\circ}}.

זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות הן שתי זוויות שהשוקיים של אחת מהן הן ההמשכים של השוקיים של השנייה, והן שוות. כששני ישרים נחתכים, נוצרות ארבע זוויות סביב נקודת החיתוך O\displaystyle O:

  • α\displaystyle \alpha ו-γ\displaystyle \gamma קודקודיות, וגם β\displaystyle \beta ו-δ\displaystyle \delta קודקודיות.
  • זוויות קודקודיות שוות:
α=γ\displaystyle \alpha=\gamma
  • הסיבה: α\displaystyle \alpha צמודה ל-β\displaystyle \beta, ולכן α=180∘−β\displaystyle {\alpha}={180^{\circ}-\beta}. גם γ\displaystyle \gamma צמודה ל-β\displaystyle \beta, ולכן γ=180∘−β\displaystyle {\gamma}={180^{\circ}-\beta}. שתיהן אותו מספר.
  • דוגמה: כש-α=80∘\displaystyle {\alpha}={80^{\circ}}, גם γ=80∘\displaystyle {\gamma}={80^{\circ}}, ו-β=δ=180∘−80∘=100∘\displaystyle {\beta}={\delta}={180^{\circ}-80^{\circ}}={100^{\circ}}.

גם במספריים פתוחים יש זוויות קודקודיות: הזווית בין הלהבים שווה לזווית בין הידיות.

זוויות סביב נקודה

זוויות שממלאות את כל הסיבוב סביב נקודה, בלי לכסות זו את זו, הן יחד סיבוב שלם, ולכן הסכום שלהן הוא 360∘\displaystyle 360^{\circ}:

  • כאן: 105∘+100∘+65∘+90∘=360∘\displaystyle {105^{\circ}+100^{\circ}+65^{\circ}+90^{\circ}}={360^{\circ}}.
  • כך גם בפיצה: הזוויות של כל המשולשים, ליד המרכז, הן יחד 360∘\displaystyle 360^{\circ}.
  • הכלל נכון לכל מספר של זוויות. עם ארבע זוויות:
α+β+γ+δ\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta =\displaystyle = 360∘\displaystyle 360^{\circ}
תרגיל 1

בשרטוט הנקודות A\displaystyle A, B\displaystyle B ו-C\displaystyle C על ישר אחד.
∠DBC=47∘\displaystyle {\angle DBC}={47^{\circ}}.
חשבו את α\displaystyle \alpha.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    בשרטוט הישרים AB\displaystyle AB ו-CD\displaystyle CD נחתכים בנקודה O\displaystyle O.
    ∠COB=58∘\displaystyle {\angle COB}={58^{\circ}}.
    כתבו את הגודל של כל אחת משלוש הזוויות האחרות סביב O\displaystyle O.
    נמקו כל תשובה.

    ∠BOD\displaystyle \angle BOD

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ∠DOA\displaystyle \angle DOA

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ∠AOC\displaystyle \angle AOC

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          האם ∠ABD\displaystyle \angle ABD ו-∠DBC\displaystyle \angle DBC הן זוויות צמודות? הסבירו.

          תרגיל 4

          שלוש קרניים יוצאות מהנקודה O\displaystyle O.
          ∠AOB=110∘\displaystyle {\angle AOB}={110^{\circ}} ו-∠BOC=135∘\displaystyle {\angle BOC}={135^{\circ}}.
          חשבו את α\displaystyle \alpha.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            שתי זוויות צמודות שוות זו לזו.
            חשבו את הגודל של כל אחת מהן.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 6

              חותכים פיצה עגולה ל-8 משולשים שווים, בחיתוכים שעוברים דרך המרכז.
              חשבו את הזווית של כל משולש ליד המרכז.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 7

                בשרטוט שלושה ישרים נחתכים בנקודה O\displaystyle O.
                ∠AOC=50∘\displaystyle {\angle AOC}={50^{\circ}} ו-∠COE=60∘\displaystyle {\angle COE}={60^{\circ}}.
                חשבו את ∠EOB\displaystyle \angle EOB, ∠BOD\displaystyle \angle BOD, ∠DOF\displaystyle \angle DOF ו-∠FOA\displaystyle \angle FOA.
                נמקו כל תשובה.

                ∠EOB\displaystyle \angle EOB

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ∠BOD\displaystyle \angle BOD

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ∠DOF\displaystyle \angle DOF

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ∠FOA\displaystyle \angle FOA

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה