הזוויות במרובע

אלכסון של מרובע הוא קטע שמחבר שני קודקודים שאינם שכנים.

• למרובע $\displaystyle ABCD$ שני אלכסונים: $\displaystyle AC$ ו-$\displaystyle BD$.
• הצלעות מחברות קודקודים שכנים: $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$, $\displaystyle CD$ ו-$\displaystyle DA$.

בכל מרובע, סכום ארבע הזוויות הוא $\displaystyle 360^{\circ}$.

האלכסון $\displaystyle AC$ מחלק את המרובע לשני משולשים: $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle ACD$.

• הזוויות של המשולש $\displaystyle ABC$ הן $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ו-$\displaystyle \gamma$, וסכומן $\displaystyle 180^{\circ}$.
• הזוויות של המשולש $\displaystyle ACD$ הן $\displaystyle \delta$, $\displaystyle \varepsilon$ ו-$\displaystyle \varphi$, וגם סכומן $\displaystyle 180^{\circ}$.
• שש הזוויות האלה יחד בונות בדיוק את ארבע הזוויות של המרובע: $\displaystyle {\angle A}={\alpha+\delta}$, $\displaystyle {\angle B}={\beta}$, $\displaystyle {\angle C}={\gamma+\varepsilon}$, $\displaystyle {\angle D}={\varphi}$.

לכן סכום הזוויות במרובע הוא $\displaystyle {180^{\circ}+180^{\circ}}={360^{\circ}}$:

במלבן זה מסתדר: ארבע זוויות ישרות, $\displaystyle {4\cdot90^{\circ}}={360^{\circ}}$.

במרובע $\displaystyle ABCD$: $\displaystyle {\angle A}={80^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={95^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle C}={110^{\circ}}$.
נמצא את $\displaystyle \angle D$.

• שלוש הזוויות הידועות יחד: $\displaystyle {80^{\circ}+95^{\circ}+110^{\circ}}={285^{\circ}}$.
• סכום הזוויות במרובע הוא $\displaystyle 360^{\circ}$, ולכן $\displaystyle {\angle D}={360^{\circ}-285^{\circ}}={75^{\circ}}$.

נתונות שלוש זוויות של מרובע.
חשבו את הזווית הרביעית.

$\displaystyle 70^{\circ}$, $\displaystyle 100^{\circ}$ ו-$\displaystyle 120^{\circ}$.

$\displaystyle 90^{\circ}$, $\displaystyle 90^{\circ}$ ו-$\displaystyle 65^{\circ}$.

$\displaystyle 135^{\circ}$, $\displaystyle 45^{\circ}$ ו-$\displaystyle 135^{\circ}$.

במרובע $\displaystyle ABCD$, בצורת עפיפון: $\displaystyle {\angle B}={\angle D}$.
$\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle C}={110^{\circ}}$.
נמצא את $\displaystyle \angle B$ ואת $\displaystyle \angle D$.

• $\displaystyle \angle A$ ו-$\displaystyle \angle C$ יחד: $\displaystyle {50^{\circ}+110^{\circ}}={160^{\circ}}$.
• לשתי הזוויות האחרות נשארים $\displaystyle {360^{\circ}-160^{\circ}}={200^{\circ}}$.
• הן שוות, ולכן כל אחת מהן $\displaystyle {200^{\circ}:2}={100^{\circ}}$.

במרובע $\displaystyle ABCD$ שבשרטוט: $\displaystyle {\angle B}={\angle D}$.
$\displaystyle {\angle A}={70^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle C}={130^{\circ}}$.
מצאו את $\displaystyle \angle B$ ואת $\displaystyle \angle D$, ונמקו.

ענו, ונמקו.

האם יש מרובע שכל ארבע הזוויות שלו חדות?

שלוש זוויות של מרובע ישרות. מה הזווית הרביעית?

כל ארבע הזוויות של מרובע שוות זו לזו. כמה מעלות כל אחת מהן?

במרובע שלוש זוויות שוות זו לזו, והזווית הרביעית היא $\displaystyle 60^{\circ}$.
מצאו את שלוש הזוויות השוות.