הזוויות במשולש

בכל משולש, סכום שלוש הזוויות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$.

אפשר לראות את זה עם דף נייר:

• גזרו משולש, וסמנו את הזוויות שלו $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ו-$\displaystyle \gamma$.
• קרעו את שלוש הפינות של המשולש.
• הניחו את הפינות זו ליד זו, כך ששלושת הקודקודים ייפגשו בנקודה אחת.

שלוש הפינות יחד ממלאות זווית שטוחה, כלומר $\displaystyle 180^{\circ}$:

• זה נכון בכל משולש: גדול או קטן, צר או רחב.
• גם במד־זווית: מדדו את שלוש הזוויות של משולש וחברו אותן. תקבלו $\displaystyle 180^{\circ}$, או מספר קרוב מאוד – מדידה אף פעם אינה מדויקת לגמרי.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={70^{\circ}}$.
נמצא את $\displaystyle \angle C$.

• שתי הזוויות הידועות יחד: $\displaystyle {50^{\circ}+70^{\circ}}={120^{\circ}}$.
• סכום הזוויות במשולש הוא $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן $\displaystyle {\angle C}={180^{\circ}-120^{\circ}}={60^{\circ}}$.

בחישוב אחד: $\displaystyle {\angle C}={180^{\circ}-(50^{\circ}+70^{\circ})}={60^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתונות שתי זוויות.
חשבו את הזווית השלישית, $\displaystyle \angle C$.

$\displaystyle {\angle A}={35^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={85^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle A}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={27^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle A}={112^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={41^{\circ}}$.

לפי הזוויות שלו, משולש הוא אחד משלושה סוגים:

• משולש חד־זווית: כל שלוש הזוויות שלו חדות, כמו המשולש $\displaystyle ABC$.
• משולש ישר־זווית: אחת הזוויות שלו ישרה, כמו המשולש $\displaystyle DEF$ (הזווית $\displaystyle D$).
• משולש קהה־זווית: אחת הזוויות שלו קהה, כמו המשולש $\displaystyle KLM$ (הזווית $\displaystyle M$).

בכל משולש יש לפחות שתי זוויות חדות. זווית ישרה או קהה יש בו לכל היותר אחת.

נסו לבנות משולש עם שתי זוויות ישרות, ליד $\displaystyle B$ וליד $\displaystyle C$:

• שתי הצלעות שיוצאות מ-$\displaystyle B$ ומ-$\displaystyle C$ עולות ישר למעלה, זו ליד זו, ולעולם לא נפגשות – אין קודקוד שלישי.
• בחשבון: שתי זוויות ישרות הן כבר $\displaystyle {90^{\circ}+90^{\circ}}={180^{\circ}}$, ולזווית השלישית לא נשאר כלום.
• שתי זוויות קהות הן יותר מ-$\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן גם הן לא יכולות להיות באותו משולש.

לפי הצלעות מבחינים בין שלושה סוגים של משולשים:

• משולש שונה צלעות: שלוש הצלעות שלו באורכים שונים, כמו $\displaystyle ABC$.
• משולש שווה שוקיים: שתיים מהצלעות שלו שוות, כמו $\displaystyle DEF$.
• משולש שווה צלעות: כל שלוש הצלעות שלו שוות, כמו $\displaystyle KLM$.

בשרטוט, קו קטן על צלע מסמן את האורך שלה: צלעות שיש עליהן אותו מספר קווים – שוות.

נתונות שתי זוויות של משולש.
מצאו את הזווית השלישית.
כתבו איזה משולש זה לפי הזוויות: חד־זווית, ישר־זווית או קהה־זווית.

$\displaystyle 25^{\circ}$ ו-$\displaystyle 65^{\circ}$.

$\displaystyle 30^{\circ}$ ו-$\displaystyle 45^{\circ}$.

$\displaystyle 55^{\circ}$ ו-$\displaystyle 70^{\circ}$.

האם יש משולש כזה?
כתבו כן או לא, ונמקו.

משולש עם שתי זוויות קהות.

משולש שהזוויות שלו $\displaystyle 30^{\circ}$, $\displaystyle 60^{\circ}$ ו-$\displaystyle 100^{\circ}$.

משולש שכל אחת מהזוויות שלו היא $\displaystyle 60^{\circ}$.

בשרטוט שלושה משולשים: $\displaystyle KLM$, $\displaystyle DEF$ ו-$\displaystyle PQR$.
אורכי הצלעות של המשולש $\displaystyle PQR$: $\displaystyle {PQ}={4}$ ס"מ, $\displaystyle {PR}={3.3}$ ס"מ, $\displaystyle {QR}={3.7}$ ס"מ.
כתבו לכל אחד מהם איזה משולש הוא לפי הצלעות, ואיזה – לפי הזוויות.