דלג לתוכן

חוצה זווית, סכום והפרש של זוויות

גאומטריה, כיתה ז' שיעור 3 מתוך 18לימוד

חוצה זווית, סכום והפרש של זוויות

סכום והפרש של זוויות

קרן שיוצאת מהקודקוד של זווית ועוברת בתוכה מחלקת אותה לשתי זוויות, והזווית כולה היא הסכום שלהן. בשרטוט הקרן BD\displaystyle BD מחלקת את ∠ABC\displaystyle \angle ABC לשתי זוויות: ∠ABD\displaystyle \angle ABD ו-∠DBC\displaystyle \angle DBC.

שתי הזוויות יחד ממלאות את ∠ABC\displaystyle \angle ABC, ולכן:

∠ABC\displaystyle \angle ABC =\displaystyle = ∠ABD+∠DBC\displaystyle \angle ABD+\angle DBC

כשמחסירים מהזווית כולה את אחד החלקים, נשאר החלק השני:

∠DBC\displaystyle \angle DBC =\displaystyle = ∠ABC−∠ABD\displaystyle \angle ABC-\angle ABD
דוגמה: סכום והפרש

בשרטוט שלמעלה ∠ABD=35∘\displaystyle {\angle ABD}={35^{\circ}} ו-∠DBC=50∘\displaystyle {\angle DBC}={50^{\circ}}.

  • הזווית כולה: ∠ABC=35∘+50∘=85∘\displaystyle {\angle ABC}={35^{\circ}+50^{\circ}}={85^{\circ}}.
  • ולהפך: כשידוע ש-∠ABC=85∘\displaystyle {\angle ABC}={85^{\circ}} ו-∠ABD=35∘\displaystyle {\angle ABD}={35^{\circ}}, נחסיר ונקבל ∠DBC=85∘−35∘=50∘\displaystyle {\angle DBC}={85^{\circ}-35^{\circ}}={50^{\circ}}.
חוצה זווית

חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מהקודקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות. בשרטוט BD\displaystyle BD חוצה את ∠ABC\displaystyle \angle ABC. אותו סימן על שתי הקשתות פירושו ששתי הזוויות שוות.

כל אחת משתי הזוויות היא חצי מהזווית כולה:

∠ABD=∠DBC=∠ABC2\displaystyle \angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}
  • דוגמה: כש-∠ABC=70∘\displaystyle {\angle ABC}={70^{\circ}}, כל אחת מהזוויות ∠ABD\displaystyle \angle ABD ו-∠DBC\displaystyle \angle DBC היא 70∘:2=35∘\displaystyle {70^{\circ}:2}={35^{\circ}}.
  • את חוצה הזווית אפשר למצוא גם בלי מד־זווית: גוזרים זווית מנייר ומקפלים אותה כך שהשוקיים שלה נופלות זו על זו. קו הקיפול הוא חוצה הזווית.
תרגיל 1

בשרטוט ∠ABD=28∘\displaystyle {\angle ABD}={28^{\circ}} ו-∠DBC=46∘\displaystyle {\angle DBC}={46^{\circ}}.
חשבו את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    בשרטוט ∠ABC=130∘\displaystyle {\angle ABC}={130^{\circ}} ו-∠ABD=55∘\displaystyle {\angle ABD}={55^{\circ}}.
    חשבו את α\displaystyle \alpha.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      BD\displaystyle BD חוצה את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.
      ∠ABC=64∘\displaystyle {\angle ABC}={64^{\circ}}.
      חשבו את ∠ABD\displaystyle \angle ABD.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        BD\displaystyle BD חוצה את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.
        ∠DBC=38∘\displaystyle {\angle DBC}={38^{\circ}}.
        חשבו את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          ∠ABC\displaystyle \angle ABC היא זווית ישרה.
          ∠ABE=25∘\displaystyle {\angle ABE}={25^{\circ}} ו-∠DBC=30∘\displaystyle {\angle DBC}={30^{\circ}}.
          חשבו את α\displaystyle \alpha.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 6

            הנקודות A\displaystyle A, B\displaystyle B ו-C\displaystyle C נמצאות על ישר אחד, ו-B\displaystyle B ביניהן.
            BD\displaystyle BD חוצה את ∠ABC\displaystyle \angle ABC.
            מה הגודל של ∠ABD\displaystyle \angle ABD, ומה הסוג שלה? הסבירו.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 7

              BD\displaystyle BD חוצה את ∠ABC\displaystyle \angle ABC, ו-BE\displaystyle BE חוצה את ∠DBC\displaystyle \angle DBC.
              ∠ABC=80∘\displaystyle {\angle ABC}={80^{\circ}}.
              חשבו את ∠EBC\displaystyle \angle EBC.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה