צורות חופפות והעתקות

צורות חופפות

שתי צורות חופפות כשאפשר להניח אחת מהן על השנייה כך שהיא תכסה אותה בדיוק.

לצורות חופפות אותן צלעות ואותן זוויות: רק המקום שלהן שונה.
כדי לבדוק, מעתיקים צורה אחת על נייר שקוף, ומנסים להניח את הנייר על הצורה השנייה.
שני בולים מאותו גיליון, או שתי מרצפות באותו מטבח – צורות חופפות.

צלעות וזוויות מתאימות

המשולשים $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle DEF$ חופפים: כשמניחים את $\displaystyle ABC$ על $\displaystyle DEF$ , הקודקוד $\displaystyle A$ נופל על $\displaystyle D$ , $\displaystyle B$ על $\displaystyle E$ , ו- $\displaystyle C$ על $\displaystyle F$ . אלה קודקודים מתאימים.

צלעות מתאימות שוות: $\displaystyle {AB}={DE}$ , $\displaystyle {BC}={EF}$ , $\displaystyle {CA}={FD}$ .
זוויות מתאימות שוות: $\displaystyle {\angle A}={\angle D}$ , $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$ , $\displaystyle {\angle C}={\angle F}$ .
בשרטוט, אותו מספר קווים קטנים מסמן צלעות שוות, ואותה אות יוונית – זוויות שוות.

תרגיל 1

המשולש $\displaystyle KLM$ מכסה בדיוק את המשולש $\displaystyle PQR$ : $\displaystyle K$ נופל על $\displaystyle P$ , $\displaystyle L$ על $\displaystyle Q$ , ו- $\displaystyle M$ על $\displaystyle R$ .
$\displaystyle {KL}={6}$ ס"מ, $\displaystyle {LM}={8}$ ס"מ, $\displaystyle {\angle M}={40^{\circ}}$ .
מצאו:

$\displaystyle PQ$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle QR$

$\displaystyle \angle R$

העתקה

העתקה מעבירה צורה למקום חדש בלי לשנות את הצלעות ואת הזוויות שלה. הצורה במקום החדש נקראת התמונה של הצורה, והיא חופפת לה.

את התמונה של הנקודה $\displaystyle A$ מסמנים $\displaystyle A'$ (קוראים: “A תג”).
שלוש העתקות: הזזה, שיקוף וסיבוב.
דמיינו את הצורה על נייר שקוף: מחליקים את הנייר (הזזה), הופכים אותו (שיקוף) או מסובבים אותו סביב סיכה (סיבוב).

הזזה

הזזה מזיזה את כל הנקודות של הצורה באותו מרחק ובאותו כיוון.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בהזזה. הקטע $\displaystyle AA'$ מראה את הדרך של הקודקוד $\displaystyle A$ .

כל נקודה זזה 4 משבצות ימינה ו-2 משבצות למעלה: $\displaystyle {A}={(1,1)}$ עוברת ל- $\displaystyle {A'}={(5,3)}$ .
בשיעורים: מוסיפים 4 לשיעור ה- $\displaystyle x$ ו-2 לשיעור ה- $\displaystyle y$ . כך גם $\displaystyle {B}={(4,1)}$ עוברת ל- $\displaystyle {B'}={(8,3)}$ .
בהזזה הצורה לא מתהפכת ולא מסתובבת.

תרגיל 2

מזיזים את המשולש $\displaystyle KLM$ שבשרטוט 3 משבצות ימינה ו-2 משבצות למטה.
כתבו את השיעורים של $\displaystyle K'$ , של $\displaystyle L'$ ושל $\displaystyle M'$ .

שיקוף בישר

בשיקוף הצורה מתהפכת: ב-

\displaystyle ABC

הסדר

\displaystyle A\to B\to C

הוא נגד כיוון השעון, וב-

\displaystyle A'B'C'

– עם כיוון השעון.

שיקוף בישר הופך את הצורה, כמו מראה או כמו השתקפות במים: כל נקודה עוברת לצד השני של הישר, באותו מרחק ממנו.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בשיקוף בישר האופקי שעובר בגובה 4.

$\displaystyle A$ נמצאת 3 משבצות מתחת לישר, ו- $\displaystyle A'$ – 3 משבצות מעליו.
הקטע $\displaystyle AA'$ מאונך לישר.
$\displaystyle C$ קרובה יותר לישר: משבצת אחת מתחתיו, ולכן גם $\displaystyle C'$ משבצת אחת מעליו.
נקודה שנמצאת על הישר עצמו נשארת במקומה.

תרגיל 3

משקפים את המשולש $\displaystyle PQR$ בישר האופקי שבשרטוט, שעובר בגובה 3.
העתיקו את המשולש לדף המשבצות שמתחת, ושרטטו את התמונה שלו.
כתבו את השיעורים של $\displaystyle P'$ , של $\displaystyle Q'$ ושל $\displaystyle R'$ .

סיבוב סביב נקודה

סיבוב סביב נקודה $\displaystyle O$ מסובב את הצורה, כמו מחוג של שעון שמסתובב סביב המרכז.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בסיבוב של $\displaystyle 90^{\circ}$ סביב $\displaystyle O$ , נגד כיוון השעון.

כל נקודה נשארת באותו מרחק מ- $\displaystyle O$ : $\displaystyle B$ במרחק 5 משבצות מ- $\displaystyle O$ , וגם $\displaystyle B'$ .
הקטע $\displaystyle OB$ הסתובב רבע סיבוב, $\displaystyle 90^{\circ}$ , ונעשה $\displaystyle OB'$ .
סיבוב נקבע לפי מרכז הסיבוב, הזווית והכיוון: עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון.
מרכז הסיבוב $\displaystyle O$ נשאר במקומו.

תרגיל 4

מסובבים את המשולש $\displaystyle ODE$ שבשרטוט סביב $\displaystyle O$ , ב- $\displaystyle 90^{\circ}$ נגד כיוון השעון.
כתבו את השיעורים של $\displaystyle D'$ ושל $\displaystyle E'$ .

תרגיל 5

בשרטוט, המשולשים $\displaystyle DEF$ , $\displaystyle KLM$ ו- $\displaystyle PQR$ הם תמונות של המשולש $\displaystyle ABC$ : אחד בהזזה, אחד בשיקוף ואחד בסיבוב.
כתבו לכל אחד מהם באיזו העתקה הוא התמונה של $\displaystyle ABC$ , ונמקו.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

זוויות

סכום זוויות – הקרן $\displaystyle BD$ עוברת בתוך $\displaystyle \angle ABC$
$\displaystyle \angle ABC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABD+\angle DBC$
הפרש זוויות
$\displaystyle \angle DBC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABC-\angle ABD$
חוצה הזווית $\displaystyle BD$ מחלק את $\displaystyle \angle ABC$ לשתי זוויות שוות
$\displaystyle \angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}$
זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
סכום הזוויות סביב נקודה
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$

זוויות במשולש ובמרובע

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
שתי הזוויות החדות במשולש ישר־זווית
$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$
סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$

היקף ושטח של מלבן וריבוע

שטח מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
היקף מלבן
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot(a+b)$
שטח ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
היקף ריבוע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\cdot a$

שטחים של מצולעים

שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח משולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}$ $\displaystyle \angle C=90^{\circ}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

התיבה והקובייה

שטח הפנים של תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+bc+ac)$
שטח הפנים של קובייה – $\displaystyle a$ אורך המקצוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$
נפח תיבה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b\cdot c$
נפח קובייה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$