הקובייה והתיבה

גוף

משולש, מלבן ועיגול הן צורות במישור: יש להן אורך ורוחב, והן שטוחות כמו דף. גוף הוא צורה במרחב: יש לו גם גובה, והוא תופס מקום.

קופסת נעליים, קוביית משחק, ארון וחדר הם גופים.
גם כדור ופחית שתייה הם גופים, אבל יש להם משטחים מעוגלים.
התיבה והקובייה הם גופים שכל המשטחים שלהם שטוחים.

התיבה

תיבה היא גוף כמו קופסת נעליים, קרטון חלב או לבנה.

פאות: לתיבה שש פאות, וכולן מלבנים. כל שתי פאות שמול זו את זו חופפות.
מקצועות: מקצוע הוא קטע שבו נפגשות שתי פאות. לתיבה שנים־עשר מקצועות.
קודקודים: קודקוד הוא נקודה שבה נפגשים שלושה מקצועות. לתיבה שמונה קודקודים.
שלושה מימדים: המקצועות מתחלקים לשלוש קבוצות של ארבעה מקצועות שווים – האורך $\displaystyle a$ , הרוחב $\displaystyle b$ והגובה $\displaystyle c$ .

הקובייה

קובייה היא תיבה שכל המקצועות שלה שווים, כמו קוביית משחק או קוביית סוכר.

כל שש הפאות שלה ריבועים חופפים.
גם לה שנים־עשר מקצועות ושמונה קודקודים.
האורך, הרוחב והגובה שלה שווים: $\displaystyle a$ .

תרגיל 1

האורך של תיבה 8 ס"מ, הרוחב שלה 5 ס"מ והגובה שלה 3 ס"מ.

כתבו את המידות של כל אחת משש הפאות שלה.

בונים את השלד של התיבה מחוט ברזל – חוט לאורך כל מקצוע. כמה ס"מ חוט צריך?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

ציור תיבה

על דף שטוח מציירים תיבה כך שהיא נראית כמו גוף. רואים רק שלוש פאות שלה: מלפנים, מלמעלה ומהצד. את המקצועות שמאחור, שלא רואים, מציירים בקו מקווקו.

מציירים את הפאה הקדמית: מלבן.
מציירים את הפאה האחורית: מלבן שווה, מוזז מעט ימינה ולמעלה.
מחברים בקטעים כל קודקוד של הפאה הקדמית לקודקוד שמאחוריו. שלושת המקצועות שנפגשים בקודקוד הנסתר – משמאל למטה מאחור – מקווקווים.

המקצועות שאחורה מצוירים קצרים יותר ובאלכסון, ולכן הפאות העליונה והצדדית נראות כמקביליות. בתיבה עצמה הן מלבנים.

תרגיל 2

ציירו קובייה שאורך המקצוע שלה 3 משבצות.
סמנו את המקצועות הנסתרים בקו מקווקו.

פריסה

נחתוך קופסה של קרטון לאורך כמה מקצועות, ונפרוש אותה על השולחן. מה שמתקבל הוא פריסה של התיבה: כל שש הפאות, מחוברות זו לזו בצלעות.

פריסה של קובייה היא שישה ריבועים. אבל לא כל שישה ריבועים מחוברים הם פריסה של קובייה:

הצלב מתקפל לקובייה: ארבעת הריבועים שבשורה מקיפים את הקובייה מסביב, 1 הוא המכסה ו־6 הוא הבסיס.
המלבן לא מתקפל לקובייה: אם נקפל את השורה העליונה, שני ריבועים ייפלו זה על זה, ופאה אחת תישאר פתוחה.
יש בדיוק 11 פריסות שונות של קובייה.

תרגיל 3

אילו מהצורות הן פריסות של קובייה?
דמיינו שאתם מקפלים כל אחת (אפשר גם לגזור מנייר ולבדוק), והסבירו.

פאות נגדיות בפריסה

בקובייה כל פאה נמצאת מול פאה אחת – הפאה הנגדית לה. בפריסת הצלב שלמעלה:

בשורה של הריבועים 2, 3, 4, 5, הפאות שיש ביניהן ריבוע אחד נגדיות: 2 מול 4, ו־3 מול 5.
הריבוע שמעל השורה והריבוע שמתחתיה נגדיים: 1 מול 6.
שתי פאות שנוגעות זו בזו בפריסה אף פעם אינן נגדיות.

תרגיל 4

בקוביית משחק, הסכום של המספרים בכל שתי פאות נגדיות הוא 7.
לפניכם פריסה של קוביית משחק. על שלוש פאות כתובים המספרים, ושלוש פאות מסומנות $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ .
איזה מספר צריך להיות על כל אחת מהן? הסבירו.

\displaystyle A

\displaystyle B

\displaystyle C

פריסת תיבה

גם לתיבה יש פריסה: שישה מלבנים, שלושה זוגות של מלבנים חופפים. לפניכם פריסה של תיבה שהאורך שלה 4 ס"מ, הרוחב 3 ס"מ והגובה 2 ס"מ:

שני מלבנים של 4 על 3: הבסיס והמכסה.
שני מלבנים של 4 על 2: הפאה הקדמית והאחורית.
שני מלבנים של 3 על 2: שתי הפאות שבצדדים.
שתי צלעות שנפגשות בקיפול הן אותו מקצוע, ולכן הן שוות באורכן.

תרגיל 5

ציירו פריסה של תיבה שהאורך שלה 4 ס"מ, הרוחב 3 ס"מ והגובה 1 ס"מ.
כל משבצת היא 1 ס"מ.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

זוויות

סכום זוויות – הקרן $\displaystyle BD$ עוברת בתוך $\displaystyle \angle ABC$
$\displaystyle \angle ABC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABD+\angle DBC$
הפרש זוויות
$\displaystyle \angle DBC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABC-\angle ABD$
חוצה הזווית $\displaystyle BD$ מחלק את $\displaystyle \angle ABC$ לשתי זוויות שוות
$\displaystyle \angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}$
זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
סכום הזוויות סביב נקודה
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$

זוויות במשולש ובמרובע

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
שתי הזוויות החדות במשולש ישר־זווית
$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$
סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$

היקף ושטח של מלבן וריבוע

שטח מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
היקף מלבן
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot(a+b)$
שטח ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
היקף ריבוע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\cdot a$

שטחים של מצולעים

שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח משולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}$ $\displaystyle \angle C=90^{\circ}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

התיבה והקובייה

שטח הפנים של תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+bc+ac)$
שטח הפנים של קובייה – $\displaystyle a$ אורך המקצוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$
נפח תיבה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b\cdot c$
נפח קובייה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$