שטח המקבילית והמשולש

גובה לצלע

גובה לצלע הוא קטע שמאונך לצלע הזאת. הריבוע הקטן בפינה מסמן זווית ישרה.

במקבילית הגובה לצלע מחבר אותה עם הצלע שמקבילה לה, ומאונך לשתיהן. $\displaystyle DE$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle AB$ :

במשולש הגובה לצלע יוצא מהקודקוד שמולה. $\displaystyle AH$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle BC$ :

במשולש קהה־זווית הגובה מקודקוד של זווית חדה נמצא מחוץ למשולש: הוא מאונך להמשך של הצלע, הקו המקווקו. גם כאן $\displaystyle AH$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle BC$ :

שטח המקבילית

מקבילית היא מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות. בציור שלפניכם נחתוך מהמקבילית משולש בקצה אחד שלה, ונעביר אותו לקצה השני:

השטח לא השתנה: אותם חלקים, במקום אחר.
נוצר מלבן. צלע אחת שלו היא הצלע $\displaystyle a$ של המקבילית, והצלע השנייה היא הגובה $\displaystyle h_a$ .
לכן השטח של המקבילית שווה לשטח של המלבן:

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle a\cdot h_a

$\displaystyle a$ – צלע של המקבילית; $\displaystyle h_a$ – הגובה לצלע הזאת.

דוגמה: שטח של מקבילית

במקבילית $\displaystyle ABCD$ האורכים בס"מ:
$\displaystyle {AB}={10}$ ו- $\displaystyle {AD}={5}$ .
$\displaystyle DE$ הוא הגובה לצלע $\displaystyle AB$ , ו- $\displaystyle {DE}={4}$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את השטח של המקבילית, ואחר כך את הגובה לצלע $\displaystyle AD$ .

השטח: הצלע $\displaystyle AB$ כפול הגובה אליה, $\displaystyle {10\cdot4}={40}$ סמ"ר.
האורך של $\displaystyle AD$ לא משמש בחישוב הזה: $\displaystyle AD$ נטויה, ורק $\displaystyle DE$ מאונך ל- $\displaystyle AB$ .
גם הצלע $\displaystyle AD$ יכולה לשמש בחישוב, עם הגובה שלה. השטח הוא אותו שטח, 40 סמ"ר, ולכן 5 כפול הגובה לצלע $\displaystyle AD$ הוא 40: הגובה לצלע $\displaystyle AD$ הוא $\displaystyle {40:5}={8}$ ס"מ.

תרגיל 1

חשבו את השטח של המקבילית.

צלע 7 ס"מ, הגובה אליה 3 ס"מ

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

צלע 4.5 מ’, הגובה אליה 6 מ'

האורכים בס"מ.

שטח המשולש

בציור שלפניכם צירפנו למשולש עותק שלו, מסובב בחצי סיבוב. יחד הם יוצרים מקבילית:

למקבילית ולמשולש אותה צלע $\displaystyle a$ ואותו גובה $\displaystyle h_a$ .
המשולש הוא חצי מהמקבילית, ולכן השטח שלו הוא חצי מ- $\displaystyle a\cdot h_a$ :

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}

דוגמה: במשולש שאחת הצלעות שלו 6 ס"מ, והגובה אליה 3 ס"מ, השטח הוא $\displaystyle {\frac{6\cdot3}{2}}={9}$ סמ"ר.

שלושה בסיסים ושלושה גבהים

כל צלע של משולש יכולה להיות בסיס, ולכל בסיס יש גובה משלו. מכל בסיס והגובה שלו מקבלים אותו שטח.

במשולש $\displaystyle ABC$ האורכים בס"מ:
$\displaystyle {BC}={10}$ , והגובה אליה $\displaystyle {AD}={6}$ .
$\displaystyle {AC}={7.5}$ , והגובה אליה הוא $\displaystyle BE$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את השטח של המשולש, ואחר כך את $\displaystyle BE$ .

השטח, עם הבסיס $\displaystyle BC$ : $\displaystyle {\frac{10\cdot6}{2}}={30}$ סמ"ר.
עם הבסיס $\displaystyle AC$ השטח הוא אותו שטח: 7.5 כפול $\displaystyle BE$ , חלקי 2, הוא 30.
לכן 7.5 כפול $\displaystyle BE$ הוא $\displaystyle {2\cdot30}={60}$ , ו- $\displaystyle {BE}={60:7.5}={8}$ ס"מ.

שטח המשולש ישר הזווית

במשולש ישר־זווית, שני הניצבים – הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה – מאונכים זה לזה: כל אחד מהם הוא הגובה לשני.

לכן השטח הוא מכפלת שני הניצבים, חלקי 2:

\displaystyle S

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}

\displaystyle \angle C=90^{\circ}

משולש ישר־זווית הוא חצי ממלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ .

תרגיל 2

חשבו את השטח של המשולש.

צלע 9 ס"מ, הגובה אליה 4 ס"מ

משולש ישר־זווית; הניצבים: 5 ס"מ ו-12 ס"מ

האורכים בס"מ.

תרגיל 3

השטח של משולש הוא 36 סמ"ר.
אחת הצלעות שלו 9 ס"מ.
מצאו את הגובה לצלע הזאת.

תרגיל 4

בתוך מלבן צויר משולש: צלע אחת שלו היא הצלע התחתונה של המלבן, והקודקוד השלישי שלו על הצלע העליונה.
המידות בס"מ.
חשבו את השטח של המשולש.
איזה חלק מהשטח של המלבן הוא? הסבירו למה.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

זוויות

סכום זוויות – הקרן $\displaystyle BD$ עוברת בתוך $\displaystyle \angle ABC$
$\displaystyle \angle ABC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABD+\angle DBC$
הפרש זוויות
$\displaystyle \angle DBC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABC-\angle ABD$
חוצה הזווית $\displaystyle BD$ מחלק את $\displaystyle \angle ABC$ לשתי זוויות שוות
$\displaystyle \angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}$
זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
סכום הזוויות סביב נקודה
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$

זוויות במשולש ובמרובע

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
שתי הזוויות החדות במשולש ישר־זווית
$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$
סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$

היקף ושטח של מלבן וריבוע

שטח מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
היקף מלבן
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot(a+b)$
שטח ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
היקף ריבוע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\cdot a$

שטחים של מצולעים

שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח משולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}$ $\displaystyle \angle C=90^{\circ}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

התיבה והקובייה

שטח הפנים של תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+bc+ac)$
שטח הפנים של קובייה – $\displaystyle a$ אורך המקצוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$
נפח תיבה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b\cdot c$
נפח קובייה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$