משולשים מיוחדים

במשולש שווה שוקיים $\displaystyle ABC$ שתי צלעות שוות: $\displaystyle {AB}={AC}$. לכל אחד מחלקי המשולש יש שם:

• השוקיים: שתי הצלעות השוות, $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle AC$.
• הבסיס: הצלע השלישית, $\displaystyle BC$.
• זווית הראש: הזווית שבין השוקיים, $\displaystyle \angle A$.
• זוויות הבסיס: שתי הזוויות שליד הבסיס, $\displaystyle \angle B$ ו-$\displaystyle \angle C$.

במשולש שווה שוקיים, שתי זוויות הבסיס שוות. רואים את זה בקיפול:

• גזרו מנייר משולש שווה שוקיים $\displaystyle ABC$.
• קפלו אותו כך שהשוק $\displaystyle AB$ תשכב בדיוק על השוק $\displaystyle AC$.
• קו הקיפול יוצא מ-$\displaystyle A$ ומגיע לאמצע הבסיס, לנקודה $\displaystyle D$.

• $\displaystyle B$ נופל על $\displaystyle C$, והזווית $\displaystyle B$ מכסה בדיוק את הזווית $\displaystyle C$: $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$.
• קו הקיפול $\displaystyle AD$ הוא ציר הסימטריה של המשולש: שני החצאים שלו מכסים זה את זה בדיוק.

זוויות הבסיס שוות, ולכן זווית אחת של משולש שווה שוקיים מספיקה כדי לחשב את שתי האחרות.

מזווית הראש לזוויות הבסיס. זווית הראש $\displaystyle 40^{\circ}$.

• שתי זוויות הבסיס יחד: $\displaystyle {180^{\circ}-40^{\circ}}={140^{\circ}}$.
• הן שוות, ולכן כל אחת מהן $\displaystyle {140^{\circ}:2}={70^{\circ}}$.

מזווית בסיס לזווית הראש. זווית בסיס אחת $\displaystyle 65^{\circ}$.

• גם זווית הבסיס השנייה $\displaystyle 65^{\circ}$.
• זווית הראש: $\displaystyle {180^{\circ}-2\cdot65^{\circ}}={180^{\circ}-130^{\circ}}={50^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {AB}={AC}$.
חשבו.

$\displaystyle {\angle A}={80^{\circ}}$. חשבו את $\displaystyle \angle B$.

$\displaystyle {\angle B}={35^{\circ}}$. חשבו את $\displaystyle \angle A$.

$\displaystyle {\angle C}={50^{\circ}}$. מצאו את $\displaystyle \angle B$ ואת $\displaystyle \angle A$.

במשולש שווה צלעות כל שלוש הזוויות שוות, וכל אחת מהן $\displaystyle 60^{\circ}$.

• משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים מכל צד: לכל זוג של צלעות, הזוויות שמולן הן זוויות בסיס, ולכן הן שוות.
• שלוש זוויות שוות, וסכומן $\displaystyle 180^{\circ}$: כל אחת מהן $\displaystyle {180^{\circ}:3}={60^{\circ}}$.

במשולש ישר־זווית $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה. גם לצלעות שלו יש שמות:

• הניצבים: שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה, $\displaystyle AC$ ו-$\displaystyle BC$.
• היתר: הצלע שמול הזווית הישרה, $\displaystyle AB$. היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש.

שתי הזוויות החדות של משולש ישר־זווית משלימות זו את זו ל-$\displaystyle 90^{\circ}$: הזווית הישרה לוקחת $\displaystyle 90^{\circ}$ מתוך $\displaystyle 180^{\circ}$, ולשתיים האחרות נשארים $\displaystyle 90^{\circ}$.

חשבו את הזווית החסרה במשולש ישר־זווית.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {\angle C}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle A}={35^{\circ}}$.
חשבו את $\displaystyle \angle B$.

במשולש $\displaystyle KLM$: $\displaystyle {\angle K}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle L}={61^{\circ}}$.
כתבו מה הניצבים ומה היתר.
מצאו את $\displaystyle \angle M$.

במשולש ישר־זווית שווה שוקיים, כל אחת מזוויות הבסיס היא $\displaystyle 45^{\circ}$.

• השוקיים שלו הן שני הניצבים, $\displaystyle CA$ ו-$\displaystyle CB$, וזווית הראש היא הזווית הישרה.
• שתי זוויות הבסיס יחד: $\displaystyle {180^{\circ}-90^{\circ}}={90^{\circ}}$, וכל אחת מהן $\displaystyle {90^{\circ}:2}={45^{\circ}}$.
• מפית מרובעת שמקפלים לאורך האלכסון שלה נעשית משולש כזה.

האם יש משולש כזה?
כתבו כן או לא, ונמקו.

משולש שווה שוקיים שזווית הבסיס שלו $\displaystyle 90^{\circ}$.

משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו $\displaystyle 100^{\circ}$.

משולש ישר־זווית שהוא גם שווה צלעות.

במשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {AB}={AC}$, $\displaystyle {\angle B}={68^{\circ}}$.
מצאו את $\displaystyle \angle C$ ואת $\displaystyle \angle A$, ונמקו.