משפטי החפיפה צ.ז.צ ו-ז.צ.ז

כדי לדעת ששני משולשים חופפים, לא צריך לבדוק את כל ששת הזוגות של איברים מתאימים: יש שלושה איברים שקובעים את המשולש כולו. כל משולש שבונים משלושה איברים כאלה יוצא אותו משולש – ולכן שני משולשים שיש בהם אותם שלושה איברים חופפים.

• משפט חפיפה אומר אילו שלושה איברים מספיקים.
• שם המשפט בנוי מהאותיות צ (צלע) ו-ז (זווית), בסדר שבו האיברים נמצאים במשולש.

משפט החפיפה צלע, זווית, צלע (צ.ז.צ): אם שתי צלעות והזווית שביניהן במשולש אחד שוות לשתי צלעות ולזווית שביניהן במשולש אחר – המשולשים חופפים.

• בשרטוט: $\displaystyle {AB}={DE}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$ ו-$\displaystyle {BC}={EF}$, ולכן $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$.
• הזווית צריכה להיות בין שתי הצלעות: $\displaystyle \angle B$ נמצאת בין $\displaystyle AB$ ל-$\displaystyle BC$.
• למה זה מספיק: נבנה את המשולש. משרטטים את $\displaystyle \angle B$, ומודדים על השוק האחת את $\displaystyle BA$ ועל השנייה את $\displaystyle BC$. כך נקבעו הקודקודים $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle C$, ויש רק קטע אחד שמחבר אותם – לא נשארה שום בחירה.

משפט החפיפה זווית, צלע, זווית (ז.צ.ז): אם צלע ושתי הזוויות שלידה במשולש אחד שוות לצלע ולשתי הזוויות שלידה במשולש אחר – המשולשים חופפים.

• בשרטוט: $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$, $\displaystyle {BC}={EF}$ ו-$\displaystyle {\angle C}={\angle F}$, ולכן $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$.
• למה זה מספיק: משרטטים את $\displaystyle BC$, ובשני הקצוות שלו את שתי הזוויות. השוק שיוצאת מ-$\displaystyle B$ והשוק שיוצאת מ-$\displaystyle C$ נפגשות בנקודה אחת בלבד – הקודקוד $\displaystyle A$.

הקטעים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
$\displaystyle O$ אמצע $\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle O$ אמצע $\displaystyle CD$.
צריך להוכיח: $\displaystyle \triangle AOC\cong\triangle BOD$.

בהוכחה שלפניכם נמצא במשולשים $\displaystyle AOC$ ו-$\displaystyle BOD$ שתי צלעות שוות, ואת הזווית שביניהן – הזוויות ב-$\displaystyle O$ הן זוויות קודקודיות:

בהוכחה יש איברים שווים שלא כתובים בנתונים, ומוצאים אותם בשרטוט:

• צלע משותפת – צלע של שני המשולשים: היא שווה לעצמה, $\displaystyle {AC}={AC}$.
• זוויות קודקודיות – הן שוות.
• זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים – הן שוות.

המשולשים חופפים. כתבו את החפיפה בסדר הנכון, ואת משפט החפיפה.

במשולשים $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle DEF$:
$\displaystyle {\angle A}={\angle D}={50^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}={70^{\circ}}$.
$\displaystyle {BC}={EF}$.

$\displaystyle D$ נקודה על הצלע $\displaystyle BC$ של המשולש $\displaystyle ABC$.
$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$.
$\displaystyle AD\perp BC$.
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ACD$.

במרובע $\displaystyle ABCD$: $\displaystyle AB\parallel CD$, ו-$\displaystyle {AB}={CD}$.
$\displaystyle AC$ אלכסון.
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle CDA$.