משפטי החפיפה צ.צ.צ ו-צ.צ.ז

משפט החפיפה צלע, צלע, צלע (צ.צ.צ): אם שלוש הצלעות של משולש אחד שוות לשלוש הצלעות של משולש אחר – המשולשים חופפים.

• בשרטוט: $\displaystyle {AB}={DE}$, $\displaystyle {BC}={EF}$ ו-$\displaystyle {CA}={FD}$, ולכן $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$.
• למה זה מספיק: משרטטים את $\displaystyle BC$. הקודקוד $\displaystyle A$ נמצא במרחק $\displaystyle BA$ מ-$\displaystyle B$ – על מעגל סביב $\displaystyle B$ – ובמרחק $\displaystyle CA$ מ-$\displaystyle C$ – על מעגל סביב $\displaystyle C$. שני המעגלים נפגשים בנקודה אחת מעל $\displaystyle BC$ (ובעוד אחת, השיקוף שלה, מתחתיו).
• לכן אורכי הצלעות קובעים גם את הזוויות: משולש לא יכול לשנות זווית בלי לשנות צלע.

משפט החפיפה צלע, צלע, זווית (צ.צ.ז): אם שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן במשולש אחד שוות לשתי צלעות ולזווית שמול הגדולה מביניהן במשולש אחר – המשולשים חופפים.

• בשרטוט: $\displaystyle {AB}={DE}$ ו-$\displaystyle {AC}={DF}$, והצלע $\displaystyle AC$ גדולה מ-$\displaystyle AB$.
• הזווית שמול $\displaystyle AC$ היא $\displaystyle \angle B$, ונתון ש-$\displaystyle {\angle B}={\angle E}$. לכן $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$.
• דוגמה חשובה: במשולש ישר זווית, היתר מול הזווית הישרה, והוא הצלע הגדולה במשולש. לכן שני משולשים ישרי זווית שהיתר וניצב אחד שווים בהם – חופפים.

כשהזווית נמצאת מול הצלע הקטנה מבין השתיים, שלושה איברים שווים לא מספיקים.
בשרטוט, במשולשים $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle ABC'$:
$\displaystyle AB$ צלע משותפת, $\displaystyle {BC}={BC'}$, והזווית $\displaystyle A$ משותפת – והיא מול $\displaystyle BC$, הצלע הקטנה.

• המשולשים אינם חופפים: $\displaystyle AC'$ ארוכה הרבה יותר מ-$\displaystyle AC$.
• למה: משרטטים את $\displaystyle \angle A$ ואת $\displaystyle AB$ על השוק האחת. את הקודקוד השלישי מחפשים על השוק השנייה, במרחק $\displaystyle BC$ מ-$\displaystyle B$ – על המעגל סביב $\displaystyle B$. המעגל חותך את השוק השנייה פעמיים: ב-$\displaystyle C$ וב-$\displaystyle C'$.
• כשהזווית מול הצלע הגדולה, המעגל חותך את השוק השנייה רק פעם אחת, ולכן יש משולש אחד בלבד – זה משפט צ.צ.ז.

שני משולשים חופפים כשיש בהם אחת מארבע השלישיות האלה של איברים שווים:

• צ.ז.צ – שתי צלעות והזווית שביניהן.
• ז.צ.ז – צלע ושתי הזוויות שלידה.
• צ.צ.צ – שלוש צלעות.
• צ.צ.ז – שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן.

שלוש זוויות שוות לא מספיקות: למשולש שווה צלעות שהצלע שלו 1 ס"מ ולמשולש שווה צלעות שהצלע שלו 5 ס"מ יש אותן זוויות, $\displaystyle 60^{\circ}$ כל אחת.

האם המשולשים $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle DEF$ בהכרח חופפים?
אם כן – כתבו את משפט החפיפה. אם לא – נמקו.

$\displaystyle {AB}={DE}={5}$, $\displaystyle {BC}={EF}={7}$, $\displaystyle {CA}={FD}={6}$.

$\displaystyle {AB}={DE}={6}$, $\displaystyle {AC}={DF}={8}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}={70^{\circ}}$.

$\displaystyle {AB}={DE}={8}$, $\displaystyle {AC}={DF}={6}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}={40^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle A}={\angle D}={50^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}={60^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle C}={\angle F}={70^{\circ}}$.

במרובע $\displaystyle ABCD$: $\displaystyle {AB}={AD}$, ו-$\displaystyle {CB}={CD}$.
$\displaystyle AC$ אלכסון.
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle ADC$.

במשולשים $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle DEF$: $\displaystyle {\angle C}={\angle F}={90^{\circ}}$.
$\displaystyle {AB}={DE}$, ו-$\displaystyle {AC}={DF}$.
הוכיחו: $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$.